介绍
在之前的学习中, 我们学了线性结构（数组, 链表,栈和队列）和非线性结构中的树结构. 下面就让我们学习非线性结构中的图结构吧
图出现的原因
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图
图的举例
图是一种非线性的数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。 如下图：
常用概念
- 顶点(vertex):
图中的节点 - 边(edge):
图中相邻节点的连接 - 路径:
图中任意两个节点间连接的组合 - 无向图:
顶点间连接无方向 - 有向图
顶点间连接无方向 - 带权图
顶点间连接有方向
无向图
有向图
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1…n个点。
数组中值的含义
0: 不连通
1: 连通
例如第一行第一列的元素值为0, 说明0和0之间是不连通的
邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
入门案例——要求: 代码实现如下图结构.
思路分析
(1) 存储顶点String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges (表示两个顶点是否连接)
(3) 保存边的个数 numOfEdgs
代码实现
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList;//存储节点的集合
private int[][] edgs;//存储图对应的邻结矩阵(用来标识两个顶点是否连接)
private int numOfEdgs;//边的个数
public Graph(int n) {//构造实例化对象时,对相关参数进行初始化
this.vertexList = new ArrayList<String>(n);
this.edgs = new int[n][n];
this.numOfEdgs = 0;
}
/**
* 插入节点
* @param vertex
*/
public void insertVertex(String vertex){
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边
* @param v1 表示第1个顶点的下标, 例如: "A"-"B", A的下标为0,B为1,C为2...
* @param v2 表示第2个顶点的下标
* @param weight 表示矩阵的值.0/1. 0:顶点间不连接,1: 顶点之间连接
*/
public void insertEdge(int v1,int v2,int weight){
edgs[v1][v2] = weight;
edgs[v2][v1] = weight;
numOfEdgs++;
}
//图中常用方法
//返回节点的个数
public int getNumOfVertex(){
return vertexList.size();
}
//返回边的个数
public int getNumOfEdges(){
return numOfEdgs;
}
//返回下标为i对应顶点的数据, 0->"A",1->"B",2->"C"
public String getValueByIndex(int i){
return vertexList.get(i);
}
//返回v1,v2的权值
public int getWeight(int v1,int v2){
return edgs[v1][v2];
}
//显示图对应的矩阵(输出二维数组)
public void showGraph(){
for (int[] edge: edgs){
System.out.println(Arrays.toString(edge));
}
}
public static void main(String[] args) {
//开始测试
int n = 5;//节点的个数
String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};//存储顶点的集合
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加节点(将顶点集合中的数据添加到图对象中)
for (String v:vertex){
graph.insertVertex(v);
}
//添加边
//需要连接的有 A-B, A-C, B-C, B-D, B-E
graph.insertEdge(0,1,1);//A-B
graph.insertEdge(0,2,1);//A-C
graph.insertEdge(1,2,1);//B-C
graph.insertEdge(1,3,1);//B-D
graph.insertEdge(1,4,1);//B-E
//显示这个邻接矩阵
graph.showGraph();
}
}
结果展示
图的遍历
所谓图的遍历，即是对结点的访问。 一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
深度优先遍历
基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。又称深度优先遍历，DFS. 指的是从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
- 查找结点v的第一个邻接结点w。
- 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
- 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。
看一个具体案例分析:
对下面图中元素做深度优先遍历
代码实现
/**
* 得到第index个邻接点的下标
* @param index 标识第n个邻接点
* @return 如果存在则返回其下标,否在返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index){
for (int j=0;j<vertexList.size();j++){
if (edgs[index][j]==1){
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
* @param v1 邻接矩阵中两个顶点的下标
* @param v2
* @return 如果存在返回对应的下标,否则返回-1
*/
public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++){
if (edgs[v1][j]==1){
return j;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先遍历算法
* @param isVisited 表示当前节点是否被遍历过
* @param i i 第一次就是 0
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
运行结果
注意: 深度优先和共度优先遍历,较难理解,最好结合debug断点调试一起理解
广度优先遍历
基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) , 又称bfs. 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
- 结点v入队列
- 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
- 出队列，取得队头结点u。
- 查找结点u的第一个邻接结点w。
- 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
.2 结点w入队列
3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6继续执行循环。
实现代码
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
运行结果
代码模拟
public static void main(String[] args) {
//开始测试
//int n = 5;//节点的个数
//String[] vertex = {"A", "B", "C", "D", "E"};//存储顶点的集合
int n = 8;//节点的个数
String[] vertex = {"1", "2", "3", "4", "5","6","7","8"};//存储顶点的集合
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加节点(将顶点集合中的数据添加到图对象中)
for (String v:vertex){
graph.insertVertex(v);
}
//添加边
//需要连接的有 A-B, A-C, B-C, B-D, B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示这个邻接矩阵
graph.showGraph();
//测试深度优先遍历
System.out.println("执行深度优先遍历");
graph.dfs();
//测试广度优先遍历
System.out.println();
System.out.println("执行广度优先遍历");
graph.bfs();
}
结果验证
深度优先与广度优先比较
由上图可知
- 图的深度优先遍历, 先找到一个节点, 然后以这个点为出发点去寻找下一层的点
- 图的广度优先遍历, 先找到一个节点, 然后以该点为基础访问该层节点.(一层一层的访问)
转载：https://blog.csdn.net/qq_43371556/article/details/104480000
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