算法工程师的数学基础｜微积分之积分相关介绍

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《算法工程师的数学基础》已更新：

• 1、算法工程师的数学基础｜线性代数中的向量和向量空间
• 2、算法工程师的数学基础｜线性代数中的矩阵
• 3、算法工程师的数学基础｜微积分之导数相关介绍
• 4、算法工程师的数学基础｜微积分之微分相关介绍
• 5、算法工程师的数学基础｜微积分之积分相关介绍

接下来将会有两篇文章分别介绍下微积分中的微分和积分，内容来自网上公开资料、相关书籍和个人见解。

微积分 是对无穷小量的研究。无穷小量，简单说就是大小无限趋向于 0 的量， 很多整体分析太过复杂的物理量可以用无穷小量分析，其原因是无穷小量可以被线性化。

如果我们用 $\epsilon$ 来表示无穷小量，那么微积分可以被分为两大类，微分和积分。

• 微分主要研究两个无穷小量的比值，形如 $ \frac {\epsilon_1}{\epsilon_2}$
• 积分学主要研究无限多的无穷小量之和，也就是 $\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + ... = \underset{ n \rightarrow \infty }{ \lim } \sum_{k=1}^{n} \epsilon_k$

本篇主要介绍积分！

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积分

在 算法工程师的数学基础｜微积分之微分相关介绍 中 介绍了微分的概念、微分和导数的关系，概括起来说就是微分是求一函数的导数，而积分则是知道一个函数的导数，求这一函数，所以积分和微分互为逆运算。

实际上积分还可以分为两部分：

1、不定积分

即单纯的积分，也就是已知函数的导数，求原函数。比如 $F(x)$的导数是$f(x)$，那么$F(x) + C$（C为常数）的导数也是$f(x)$，即把$f(x)$进行积分，不一定能得到$F(x)$，因为$F(x)+C$的导数也是$f(x)$，所以$f(x)$的积分有无限多个，是不确定的，一律用$F(x) + C$代替，这就被称为不定积分。

2、定积分

所谓定积分，形式如：$\int_{a}^{b} f(x)dx$，存在上下限[a,b]，之所以称为定积分，是因为它积分后的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

定积分的正式名称是黎曼积分，就是把直角坐标系上的图像用平行于y轴的直线和x轴的直线
将其分割成无数个矩形，然后把某个区间$[a,b]$上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图像在区间$[a,b]$上的面积。

3、积分与定积分的关系

定积分的本质是把图像无限分割，然后进行累加，而积分的本质是求解一个函数的原函数，那么为什么要把积分写成定积分的形式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论支撑，使他们有了本质的联系，这个理论就是：牛顿-布莱尼兹公式

若：
$F'(x) = f(x)$

则：$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

其中$F(b)$即为积分形式，而$F(b) - F(a)$则为定积分的等价转换。

不定积分

原函数

设函数$F(x)$与$f(x)$在区间$I$上有定义，若在$I$上：
$F'(x)= f(x)$
则称函数$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。

原函数存在定理

如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在区间$I$上存在原函数$F(x)$，即连续函数一定存在原函数。

不定积分定义

原函数$f(x)$在区间$I$上的全体原函数称为$f(x)$在$I$上的不定积分，计作$\int f(x) dx$。即：
$\int f(x) dx = F(x) + C$

其中：

• $\int$ 表示积分号
• $f(x)dx$ 表示被积表达式
• $f(x)$ 表示被积函数
• $x$ 表示积分变量
• $C$ 表示积分常数

不定积分$\int f(x)d(x)$是一个函数簇$F(x)+C$

不定积分性质

1、不定积分的导数等于被积函数
$[\int f(x)d(x)]' = f(x)$

2、函数的导数（或微分）的不定积分等于该函数与任意常数之和 $\int f(x)dx = F(x) +C$

常见的不定积分公式

• $\int 0 dx = C$
• $\int dx = x + C$
• $\int x^a dx = \frac {x^{a+1}}{a+1} +C(a\neq -1,x>0)$
• $\int \frac{1}{x}dx = ln |x| +C (x\neq =0)$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int a^x dx = \frac {a^x}{ln a} +C$
• $\int cos \, x \, dx = sin \, x + C$
• $\int sin\, x \, dx = -cos \, x + C$
• $\int sec^2 \, x \, dx = tan \, x + C$
• $\int csc^2 \, x \, dx = - cot \, x + C$
• $\int sec \, x tan\, x = sec \, x +C$
• $\int csc\, c \, cot \, x = -csc \, x + C$
• $\int \frac {1}{ \sqrt {1- x^2}}dx = arcsin\,x + C = -arc cos\,x +C$
• $\int \frac {1}{ 1+ x^2}dx = arc tan\,x + C = -arc cot\,x +C$

不定积分的线性运算法则

• 若函数$f(x)、g(x)$在区间$I$上的原函数都存在，则$f(x) \pm g(x)$在区间$I$上的原函数也存在。即：

$\int (f(x) \pm g(x))= \int f(x) \pm \int g(x)$

• 若函数$f(x)$在区间$I$上的原函数存在，则$kf(x)$在区间$I$上的原函数也存在， $k$为实数且$k\neq 0$
  $\int k f(x)dx = k \int f(x) dx$

定积分

定义

设 $f(x)$是定义在区间$[a,b]$上的有界函数，用点$a=x_0 < x_1 < x_2 ... < x_n=b$将区间$[a,b]$任意分割成$n$个子区间$[x_i, x_{i-1}], i=[1,2,3...,n]$，这些子区间及长度均计作$\Delta x_i = x_i - x_{i-1},i=[1,2,3...,n]$，在每个子区间$\Delta x_i$上任取一点$\xi _i$，作$n$个乘积$f(\xi _i)\Delta x_i$的和式：
$\sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i$

如果当$n \rightarrow \infty$，同时最大子区间的长度$\lambda = max\{\Delta x_i\} \rightarrow 0$和$\sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i$的极限存在，并且其极限值与$[a,b]$的分割法和$\xi_i$的取法无关，则该极限值称为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，计作:
$\int _{a}^{b} f(x)dx = \lim_{ n \rightarrow \infty, \lambda \rightarrow 0 } \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x$
其中：

• $f(x)$被积函数
• $a$ 积分下界，$b$积分上界
• $f(x) dx$ 被积表达式
• $x$ 积分变量
• $\lim_{ n \rightarrow \infty, \lambda \rightarrow 0 } \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x$ 积分和

定积分性质

1、若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，$k$为常数，则$kf(x)$在区间$[a,b]$上也可积，且$\int _{a}^{b} kf(x)dx = k \int _{a}^{b} f(x)dx $

2、若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$f(x) \pm g(x)$在区间$[a,b]$上也可积，且 $\int _{a}^{b} (f(x) \pm g(x)) dx =\int _{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx$

3、【积分区间可加性】有界函数$f(x)$在$[a,c]、[c,b]$上都可积的充要条件是 $f(x)$在$[a,b]$上也可积，且$\int _{a}^{b} f(x) dx = \int _{a}^{c} f(x) dx + \int _{c}^{b} f(x) dx$

4、【保序性】设$f(x)、g(x)$为定义在$[a,b]$上的两个可积函数，若$f(x) \leq g(x), x\in [a,b]$，则$\int _{a}^{b}f(x)dx \leq \int _{a}^{b}g(x)dx$

5、【推论】若$f(x) \geq 0, x \in [a,b]$，则$\int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0$

6、【有界性】设$m, M$分别是 $f(x)$在 $[a,b]$上的最小值和最大值，若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x)dx \leq M(b-a)$

7、【绝对值不等式】若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$|f(x)|$在区间$[a,b]$上也可积，且：$\left | \int_{a}^{b} f(x) dx \right | \leq \int_{a}^{b} f(x) dx$

8、【积分中值定理】若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$使得$\int_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi) (b-a)$

9、补充规定1：当$a=b$时，令$\int _{a}^{b} f(x) d(x) = 0$

10、补充规定2：当$a>b$且 $\int_{a}^{b}f(x)d(x)$存在时，令$\int _{a}^{b} f(x) d(x) = -\int _{b}^{a} f(x) d(x)$

反常积分

反常积分的定义

称无穷区间上的积分和无解函数的积分为广义积分或者反常积分，而定积分则称为常义积分或者正常积分。

常见的反常类型包括：

• 无限区间：$[a, +\infty), (-\infty,b],(-\infty, +\infty)$
• 被积函数$f(x)$在区间$[a,b]$内不连续：
  • 在左端点$a$处不连续
  • 在右端点$b$处不连续
  • 在区间$[a,b]$的某点处间断

两个易错反常积分公式

1、无穷限的反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} sinx dx \neq 0$

2、被积函数具有无穷间断点的反常积分 $\int _{-1}^{1} \frac{1}{x} dx \neq ln|x| |_{-1}^{+1} = 0$

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