标准霍夫变换

---

1. 霍夫变换简介

• 目的 ：从图像中分离出具有某种相同特征的几何形状

霍夫变换是图像处理中 从图像中识别几何形状 的基本方法之一
最基本的霍夫变换是从黑白图像中检测直线
在图像处理中可以通过霍夫变换可以快速的检测出直线或圆

---

2. 霍夫线变换

霍夫线变换是用来寻找图片中直线的方法

---

2.1. 检测图片的条件

首先要对图像进行 边缘检测 的处理
也即霍夫线变换的直接输入只能是 边缘二值图像，如下图：

---

2.2. 直线的表示

一条直线在图像二维空间可由两个变量表示，如：

• 在笛卡尔坐标系：可由参数 斜率 k 和 截距 b 表示：y = kx + b
  不过，由于直线的斜率可能为无穷大，或者无穷小
  那么在k-b参数空间就不便于对直线进行描述和刻画
• 在极坐标系：可由参数(r, θ)极径和极角表示
  
  对于霍夫变换，将用极坐标系来表示直线
  参考 y=kx + b，直线的表达式可为：
  
  化简结果：$r$ = xcosθ + ysinθ

一般来说对于点（x₀, y₀）
可以将通过这个点的一簇直线同一定义为：$r$ = x₀cosθ + y₀sinθ
这就意味着对于每一对（r, θ）代表一条通过点（x₀, y₀）的直线

---

2.3. 所有通过点的直线

如果对于一个给定点（x₀, y₀）
在极坐标对极径极角平面绘出所有通过它的直线，将得到一条正弦曲线
如对于给定点 x₀ = 8 和 y₀ = 6，可以绘出下图：

---

2.4. θ - r 相交

对图像中所有点进行上述操作：历遍 $θ$，得到 $r$，得到所有通过点的直线的表达

如果两个不同点经过上述操作后得到的曲线在平面 $θ - r$ 相交
就意味着 它们可以在同一条直线上

继续对存在的点 x₁=9，y₁=4 和 点 x₂=12, y₂=3 历遍操作，得到下图：

这三条曲线在 $θ - r$ 平面相交于点(0.925, 9.6)
那么参数对（θ, r）为点（x₀, y₀），（x₁, y₁）和（x₂, y₂）组成的平面内的直线

---

2.5. 阈值定义直线

一般来讲，一条能够通过在平面 $θ - r$ 寻找交于一点的曲线数量检测
越多曲线交于一点也就意味着这个交点表示的直线由更多的点组成

一般来说可以通过设置直线上点的阈值
来定义多少条曲线交于一点认为检测到了一条直线

图像中的每个点对应曲线间的交点，如果交于一点的曲线数量超过了阈值
那么可以认为这个交点所代表的参数对(θ, r_θ)在原图像中为一条直线

---

3. 霍夫圆变换

霍夫圆变换的基本原理和霍夫线变换类似
只是点对应的二维极径极角空间被三维的圆心点x、 y及半径r空间取代

对圆来说，需要三个参数来表示一个圆 C：(X₀, Y₀, $r$)
(X₀, Y₀) 表示圆心的位置，$r$ 表示半径

现在原边缘图像的任意点（x，y）对应的经过这个点的所有可能圆
圆的数学的数学表达式为：(x - x₀)² +(y - y₀)² = r²
是在三维空间由上面这三个参数来表示了，对应一条三维空间的曲线

与二维的霍夫线变换同样的道理
对于多个边缘点越多，这些点对应的三维空间曲线相交于一点
那么经过共同圆的点就越多

类似的可以用同样的阈值的方法来判断一个圆是否被检测到
这就是标准霍夫圆变换的原理
但也正是在三维空间计算量大，标准霍夫圆变化很难被应用到实际中

---

谢谢！

转载：https://blog.csdn.net/qq_32618327/article/details/104464099