数据库系统概论——函数依赖、码和范式（1NF、2NF、3NF、BCNF）详解

概念回顾

关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：
$R(U,D,DOM,F)$

• $R：$ 关系名
• $U：$ 组成该关系的属性名集合
• $D：$ 属性组U中属性所来自的域
• $DOM：$ 属性向域的映象集合
• $F：$ 属性间数据的依赖关系集合

关系模式$R（U,D,DOM,F）$中，$D$和$DOM$与逻辑结构设计关系不大，因此，将关系模式简化为一个三元组：

• $R（U,F）$

当且仅当$U$上的一个关系$r$ 满足$F$时，$r$称为关系模式$R（U,F）$的一个关系。

1、函数依赖的定义

设$R(U)$是一个属性集$U$上的关系模式，$X$和$Y$是$U$的子集。

若对于$R(U)$的任意一个可能的关系$r$，$r$中不可能存在两个元组在$X$上的属性值相等， 而在$Y$上的属性值不等， 则称 “$X$函数确定$Y$” 或 “$Y$函数依赖于$X$”，记作$X\to Y$。

函数依赖说明：

1. 所有关系实例均要满足

2. 语义范畴的概念

3. 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定

1.1 平凡函数依赖和非平凡函数依赖

定义：
在关系模式$R(U)$中，对于$U$的子集$X$和$Y$。

• 如果X→Y，但$Y⊈X$则称X→Y是非平凡的函数依赖
• 若X→Y，但$Y\subseteq X$, 则称X→Y是平凡的函数依赖

举例说明：
在关系SC(Sno, Cno, Grade)中

非平凡函数依赖

• （Sno, Cno）——>Grade

平凡函数依赖

• （Sno，Cno）——>Sno
• （Sno，Cno）——>Cno

若$X\to Y$，则$X$称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素（Determinant）。
若$X\to Y，Y\to X，$则记作$X\leftarrow \to Y$。
若$Y$不函数依赖于$X$，则记作$X\nrightarrow Y$。

1.2 完全函数依赖和部分函数依赖

定义：
在$R(U)$中，如果$X\to Y$，并且对于$X$的任何一个真子集$X^{{}^{\prime }}$，都有$X^{{}^{\prime }}\nrightarrow Y$，则称$Y对X$完全函数依赖，记作$X\stackrel{F}{\to }Y$

若$X\to Y$，但$Y$不完全函数依赖于$X$，则称$Y$对$X$部分函数依赖，记作$X\stackrel{P}{\to }Y$。

举例说明一下：

$(Sno,Cno)\stackrel{F}{\to }Grade$是完全函数依赖；
$(Sno,Cno)\to Sdept$是部分函数依赖

因为在完全函数依赖中，任何一个真子集（Sno或者Cno）都不能单独地决定Grade，也就是$Sno\nrightarrow Grade$和$Cno\nrightarrow Grade$。
而在部分函数依赖中，任何一个真子集（Sno或者Cno）都可以单独地决定Sdept，也就是$Sno\to Sdept$和$Cno\to Sdept$。

1.3 传递函数依赖

定义：
在R(U)中，如果$X\to Y，(Y⊈X),Y\nrightarrow X,Y\to Z$， 则称$Z$对$X$传递函数依赖。 记作：$X\to Z$。

注:
如果Y→X，即X←→Y，则Z直接依赖于X，非传递依赖。

例: 在关系Std(Sno, Sdept, Mname)中(属性组分别为学号、系别、系主任名字），有：

• Sno → Sdept，Sdept → Mname
• Mname传递函数依赖于Sno
  记作： Sno → Mname

2、码

在讲解码的概念之前，首先阐明一点，码即是键，键即是码，意思就是我们平时学习数据库进行表操作的时候，遇见的主键和外键就是主码和外码的意思，两者是同一概念，不要弄混。先给一个图大致理解下：

2.1 主码和候选码

定义：
设$K$为$R<U,F>$中的属性或属性组合。若$K\stackrel{F}{\to }U$，则$K$称为$R$的侯选码（Candidate Key）。

若候选码多于一个，则选定其中的一个做为主码（Primary Key）。

2.1主属性与非主属性

• 包含在任何一个候选码中的属性 ，称为主属性（Prime attribute）。

• 不包含在任何码中的属性称为非主属性（Nonprime attribute）或非码属性（Non-key attribute）

2.2 全码

整个属性组$U$是码，称为全码（All-key）。

即当所有的属性共同构成一个候选码时，这时该候选码为全码。举例在关系模式R（教师，课程，学生）中，假如一个教师可以讲授多门课程，某门课程可以有多个教师讲授，学生可以听不同教师讲授的不同课程，那么，要区分关系中的每一个元组，这个关系模式R的候选码应为全部属性构成 （教师、课程、学生），即主码。

举例说明一下：
关系模式$S(\underline{Sno},Sdept,Sage)$，

• 单个属性Sno是码，

$SC（\underline{Sno，Cno}，Grade）$中，

• （Sno，Cno）是码

关系模式$R（P，W，A）$
$P：$演奏者 $W：$作品 $A：$听众

• 一个演奏者可以演奏多个作品
• 某一作品可被多个演奏者演奏
• 听众可以欣赏不同演奏者的不同作品

此关系模式的码为(P，W，A)，即全码（All-Key）

2.3 外部码

定义：
关系模式$R$ 中属性或属性组$X$ 并非$R$的码，但 $X$ 是另一个关系模式$S$的码，则称 $X$ 是$R$ 的外部码（Foreign key），简称外码。

举例：
如在$SC（\underline{Sno，Cno}，Grade）$中，$Sno$不是码，但$Sno$是关系模式$S（\underline{Sno}，Sdept，Sage）$的码，则$Sno$是关系模式$SC$的外部码。

3、范式

范式是符合某一种级别的关系模式的集合，在关系数据库中的关系必须满足一定的要求，而满足不同程度要求的关系为不同类型的范式。

范式的种类：

• $第一范式(1NF)$
• $第二范式(2NF)$
• $第三范式(3NF)$
• $BC范式(BCNF)$
• $第四范式(4NF)$
• $第五范式(5NF)$

各种范式之间存在联系：

某一关系模式$R$为第$n$范式，可简记为$R\in nNF$。
一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化 。

3.1 第一范式（1NF）

定义：
如果一个关系模式$R$的所有属性都是不可分的基本数据项，则$R\in 1NF$。

第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。

但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式

举例：
[例] 关系模式 $S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)$

• $Sloc$为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方

函数依赖包括

• $(Sno,Cno)\stackrel{F}{\to }Grade$
• $Sno\to Sdept$
• $(Sno,Cno)\stackrel{P}{\to }Sdept$
• $Sno\to Sloc$
• $(Sno,Cno)\stackrel{P}{\to }Sloc$
• $Sdept\to Sloc$

$S-L-C$的码为$(Sno,Cno)$

$S-L-C$满足第一范式。

非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno, Cno)

分解前的关系模式$S-L-C$

但是$S-L-C$不是一个好的关系模式，会产生以下问题：

• (1) 插入异常
• (2) 删除异常
• (3) 数据冗余度大
• (4) 修改复杂

原因：Sdept、 Sloc部分函数依赖于码。

解决方法：

• $S-L-C$分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖

  • $SC（Sno，Cno，Grade）$
  • $S-L（Sno，Sdept，Sloc）$

• 关系模式$SC$的码为$（Sno，Cno）$

• 关系模式$S-L$的码为$Sno$

• 这样非主属性对码都是完全函数依赖

3.2 第二范式（2NF）

定义：
若$R\in 1NF$，且每一个非主属性都完全函数依赖于码，则$R\in 2NF$。

例：

• $S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)\in 1NF$
• $S-L-C(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)分解为2NF：$
  • $SC（Sno，Cno，Grade）\in 2NF$
  • $S-L（Sno，Sdept，Sloc）\in 2NF$

采用投影分解法将一个$1NF$的关系分解为多个$2NF$的关系，可以在一定程度上减轻原$1NF$关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。

但将一个$1NF$关系分解为多个$2NF$的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。

3.3 第三范式（3NF）

定义：

• 关系模式$R<U，F>$中若不存在这样的码$X$、属性组$Y$及非主属性$Z（Z⊈Y）$, 使得$X\to Y，Y\to Z$成立，$Y\to X$，则称$R<U，F>\in 3NF$。
• 若$R\in 3NF$，则每一个非主属性既不部分依赖于码也不传递依赖于码。

例：$2NF$关系模式$S-L(Sno,Sdept,Sloc)$中的函数依赖关系：

• $Sno\to Sdept$
• $Sdept\nrightarrow Sno$
• $Sdept\to Sloc$

可得：
$Sno\stackrel{传递}{\to }Sloc$，即$S-L$中存在非主属性对码的传递函数依赖，$S-L\notin 3NF$。

函数依赖图：

解决方法：
采用投影分解法，把$S-L$分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：

• $S-D（Sno，Sdept）$
• $D-L（Sdept，Sloc）$
• $S-D$的码为$Sno$，$D-L$的码为$Sdept$。

分解后的关系模式$S-D$与$D-L$中不再存在传递依赖。

采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。

将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，仍然不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。

3.4 BC范式（BCNF）

定义：
关系模式$R<U，F>\in 1NF$，若$X\nrightarrow Y$且$Y\subseteq X$时$X$必含有码，则$R<U，F>\in BCNF$。
等价于：每一个决定属性因素都包含码

若R∈BCNF：

• 所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖
• 所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖
• 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性

如果R∈3NF，且R只有一个候选码

注意：如果一个关系模式$R$属于$BCNF$，则一定是$3NF$，但是一个关系模式$R$如果属于$3NF$，则不一定是$BCNF$。

[例] 关系模式$S（Sno，Sname，Sdept，Sage）$

• 假定$S$有两个码$Sno，Sname$
• $S\in 3NF$
• $S\in BCNF$

[例]在关系模式$STJ（S，T，J）$中，$S$表示学生，$T$表示教师，$J$表示课程。
函数依赖：

• $(S，J)\to T，(S，T)\to J，T\to J$
  -$(S，J)和(S，T)$都是候选码

• $STJ\in 3NF$
  • 没有任何非主属性对码传递依赖或部分依赖
• $STJ\notin BCNF$
  • $T$是决定因素，在$BCNF$中所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖，但$T$不包含码。$STJ$显然不满足。

解决方法：将$STJ$分解为二个关系模式：
$ST(S，T)\in BCNF，TJ(T，J)\in BCNF$

没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖。

其它数据库系统概论详细请看：

1. 数据库系统概论①——数据库系统基本概念
2. 数据库系统概论②——关系数据库基础
3. 数据库系统概论——关系代数详解

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