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一套有趣的期权套利题目

2022-11-12 10:01 312人阅读  评论(0)

一套有趣的期权套利题目 – 潘登同学的金融经济学笔记

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前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

出题人给出的解法

因为期权的现金流是个凸函数，

K = 40 ， 50 ， 70 V ( K ) = 10 , 20 , 30 50 = 2 3 40 + 1 3 70 20 = V ( 50 ) ≥ 2 3 V ( 40 ) + 1 3 V ( 70 ) = 16.67 存在套利空间，卖出 3 个 50 ，买入 2 个 40 ， 1 个 70 K = 40，50， 70\\ V(K) = 10, 20, 30 \\ 50 = \frac{2}{3} 40 + \frac{1}{3} 70 \\ 20 = V(50) \geq \frac{2}{3}V(40) + \frac{1}{3}V(70) = 16.67\\ 存在套利空间，卖出3个50，买入2个40 ， 1个70 K=40，50，70V(K)=10,20,3050=32​40+31​7020=V(50)≥32​V(40)+31​V(70)=16.67存在套利空间，卖出3个50，买入2个40，1个70

但是出题人这样任意取 2 3 \frac{2}{3} 32​和 1 3 \frac{1}{3} 31​的做法，不一定令人信服，但是本质上想让线性部分的现金流加和相等的思想是可取的(即买入与卖出的两个资产组合的现金流相等，进而相互抵消)

将三个期权的现金流，与组合的现金流画在图上则是

可以看到在价格小于等于40的时候，组合的现金流是平稳的，这就是线性部分现金流抵消的思想；

我的解法

作为一名严谨的金融学者，肯定不能这样盲目地定下 2 3 \frac{2}{3} 32​和 1 3 \frac{1}{3} 31​的比例；

根据无套利定价思想，如果存在套利机会，构造一个资产组合,则必有
π = a f a + b f b + c f c = a ( max ⁡ ( 40 − x , 0 ) − 10 ) + b ( max ⁡ ( 50 − x , 0 ) − 20 ) + c ( max ⁡ ( 70 − x , 0 ) − 30 ) ≥ 0

π = a f a + b f b + c f c = a ( max ( 40 − x , 0 ) − 10 ) + b ( max ( 50 − x , 0 ) − 20 ) + c ( max ( 70 − x , 0 ) − 30 ) ≥ 0
π​=afa​+bfb​+cfc​=a(max(40−x,0)−10)+b(max(50−x,0)−20)+c(max(70−x,0)−30)≥0​
其中，等于号不恒成立； 将上式写成分段函数
{ a ( 30 − x ) + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , x ≤ 40 − 10 a + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 40 < x ≤ 50 − 10 a + − 20 b + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 50 < x ≤ 70 − 10 a + − 20 b − 30 c ≥ 0 , 70 < x ⇒ { ( a + b + c ) x ≤ 30 a + 30 b + 40 c , x ≤ 40 ( a + b ) x ≤ − 10 a + 30 b + 40 c , 40 < x ≤ 50 c x ≤ − 10 a − 20 b + 40 c , 50 < x ≤ 70 a + 2 b + c ≤ 0 , 70 < x
{ a ( 30 − x ) + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , x ≤ 40 − 10 a + b ( 30 − x ) + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 40 < x ≤ 50 − 10 a + − 20 b + c ( 40 − x ) ≥ 0 , 50 < x ≤ 70 − 10 a + − 20 b − 30 c ≥ 0 , 70 < x
\\ \Rightarrow
{ ( a + b + c ) x ≤ 30 a + 30 b + 40 c , x ≤ 40 ( a + b ) x ≤ − 10 a + 30 b + 40 c , 40 < x ≤ 50 c x ≤ − 10 a − 20 b + 40 c , 50 < x ≤ 70 a + 2 b + c ≤ 0 , 70 < x
⎩ ⎨ ⎧​a(30−x)+b(30−x)+c(40−x)≥0,−10a+b(30−x)+c(40−x)≥0,−10a+−20b+c(40−x)≥0,−10a+−20b−30c≥0,​x≤4040<x≤5050<x≤7070<x​⇒⎩ ⎨ ⎧​(a+b+c)x≤30a+30b+40c,(a+b)x≤−10a+30b+40c,cx≤−10a−20b+40c,a+2b+c≤0,​x≤4040<x≤5050<x≤7070<x​
观察上式，可以看到不等式右边都是参数，而不等式左边都是一次型函数(除了最后一条不等式)； 假设给定 a , b , c a,b,c a,b,c下，那么不等式右边值确定，不等式左边的单调性也随之确定； 因为不等式左边要么单调增，要么单调减，所以将边界带进去，如果边界值满足，那么所有值都满足，进而
{ 0 ≤ 30 a + 30 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 10 b 0 ≤ − 50 a − 10 b + 40 c 0 ≤ − 60 a − 20 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 10 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 30 c
{ 0 ≤ 30 a + 30 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 10 b 0 ≤ − 50 a − 10 b + 40 c 0 ≤ − 60 a − 20 b + 40 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 10 c 0 ≤ − 10 a − 20 b − 30 c
⎩ ⎨ ⎧​0≤30a+30b+40c0≤−10a−10b0≤−50a−10b+40c0≤−60a−20b+40c0≤−10a−20b−10c0≤−10a−20b−30c​
显然这是一个三维的线性规划，比较难解，但是因为 a , b , c a,b,c a,b,c只是比例，不是具体数，设 a = 1 a=1 a=1，将问题转化为二维的线性规划
{ 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ − 3 − b + 2 c 0 ≤ − 1 − 2 b − c 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c b ≤ 0
{ 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ − 3 − b + 2 c 0 ≤ − 1 − 2 b − c 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c b ≤ 0
⎩ ⎨ ⎧​0≤3+3b+4c0≤−5−b+4c0≤−3−b+2c0≤−1−2b−c0≤−1−2b−3cb≤0​
将不等号变为等号，画在图中

根据各个线与0的关系，能在图中找到解空间，那么这个解空间就是可供套利的比例选择，注意并非只有一种套利的比例选择；

写为数学表达则为
{ 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c

{ 0 ≤ − 1 − 2 b − 3 c 0 ≤ − 5 − b + 4 c 0 ≤ 3 + 3 b + 4 c
⎩ ⎨ ⎧​0≤−1−2b−3c0≤−5−b+4c0≤3+3b+4c​

在这个解集中，随便找一个比例 a = 1 , b = − 3 , c = 1.6 a=1,b=-3,c=1.6 a=1,b=−3,c=1.6,画出组合现金流

所以说，是不是我的解法比较严谨，套利不再那么神乎其神，只是在数学本质外的面纱而已！！！


转载：https://blog.csdn.net/weixin_52185313/article/details/127789814
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