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作者：[左手の明天]
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目录
微分方程知识简介
要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系
- (1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）
- (2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）
- (3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。
0．常数变易法
常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1．初等积分法
掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：
（1）可分离变量方程：
（2）齐次方程：
常数变易法：
（1）线性方程
（2）伯努里方程
积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程
，有
参数法：
（1）不含x或y的方程：
（2）可解出x或y的方程：
对于高阶方程，有
降阶法：
2．一阶线性微分方程组
- 一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等）
- 二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），
- 三是常数变易法。如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。
3．高阶线性微分方程
了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；
n阶线性常系数微分方程解法：
- （1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；
- （2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；
- （3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；
- （4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；
- （5）求二阶线性方程的幂级数解法。
4．常微分方程的基本定理
常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。
5．常微分方程的稳定性理论
掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。
6．常微分方程的定性理论
掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。
差分方程
偏微分方程
数学建模的微分方程方法
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。
其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。
1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型
这就需要仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线l（等角轨线或正交轨线），使l与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的l切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在l与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求l出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；
力学中的牛顿第二运动定律：f=ma，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；
电学中的基尔霍夫定律等。
从这些知识出发可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻力系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为v，初始条件：
。由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：
求解模型可得：
由上式可知，当
时，物体具有极限速度：
其中，阻力系数
，
为与物体形状有关的常数，
为介质密度，s为物体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在
一定时，要求落地速度v1不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的v1直径大小来。
3．利用导数的定义建立微分方程模型
导数是微积分中的一个重要概念，其定义为
商式
表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。
例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t的函数，由裂变规律，我们可以建立微分方程模型：
其中k是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，解得：
其中c是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）
4．利用微元法建立微分方程模型
一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：p是与一个变量t的变化区间[a, b]有关的量；p对于区间[a, b]具有可加性；部分量
的近似值可表示为
。那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：
- 首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间[a, b]；
- 在区间[a, b]中随便选取一个任意小的区间并记作[t, t+dt]，求出相应于这个区间的部分量
的近似值。如果能近似的标示为[a, b]上的一个连续函数在t处的值与dt的乘积，我们就把f(t)dt称为量p的微元且记作dp。
这样，就可以建立起该问题的微分方程模型：dp=f(t)dt。对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。
例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心；这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。
在2005年的全国大学生数学建模竞赛A题（原题见竞赛试题）中，对于长江流域的三类主要污染物----溶解氧，高锰酸盐指数与氨氮污染，运用微元法，建立了其含参数的微分方程模型，并用平均值法估计出了其参数，具体求出了他们的解，之后，又给出了他们统一的微分方程模型及其求解公式。
常见微分方程模型
1、人口问题
人口问题是当今世界上人们最关心的问题之一，影响人口增长的因素很多：人口的基数、人口的自然增长率及各种扰动因素。英国人口统计学家Malthus在担任牧师期间，查看了教堂一百多年人口出生统计资料，发现人口出生率稳定于一个常数，与1798年提出了著名的Malthus人口模型。他的基本假设是：在考虑人口随时间变化的人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数为r
常微分方程模型
设N(t)为时刻t人口总数，r=m-n为人口的增长率，其中m,n分别为出生率与死亡率，他们可以是t的函数。1798年，英国神父Malthus建立了最简单的人口增长模型为
得出了人口按几何级数增长的结论。此结论在短时期内与人口的实际增长吻合得比较好，时间越长误差越大。经过对一些地区具体人口资料的分析，发现在人口基数较少时，人口的繁衍增长起重要作用，人口的自然增长率r基本为常数，但随着人口基数的增加，人口增长将越来越受自然资源、环境条件等的限制。此时人口的自然增长率是变化的，即人口的自然增长率与人口数量有关。
1837年，荷兰生物学家P.F. Verhulst修改了上述模型，引入本地区自然资源和环境条件允许下的最大人口数目为P0，给出了类似于电感器产生阻抗的生物反馈因子
，将Malthus模型中的假设条件“人口自然增长率r为常数”，修正为人口自然增长率为
，得出上述模型的修正模型
该模型为著名的Logistic(逻辑斯谛)模型，方程为变量分离方程，带入初始条件
，可以求出其解。
上述模型对单种群群体规模的变化规律是很好地描述。
差分方程模型
上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。但不同年龄的人的繁殖率和死亡率有着明显的不同。
考虑按年龄分组的种群增长模型，介绍Leslie在20世纪40年代建立的一个具有年龄结构的人口离散模型。
将人口按年龄划分成m个年龄组，即1，2，……，m组。此处还隐含假定所有人的年龄不能超过m组的年龄。现将时间也离散为时段
，k=1,2,3,……，并且的间隔与年龄区间大小相等。记时段第i年龄组的种群数量为
，记时段种群各年龄组的分布向量为
则可以建立人口增长的差分方程模型为
此处L为已知矩阵。当
时段各年龄组的人数已知时，即X(0)已知时，可以求得时段的按年龄组的分布向量X(k)为
由此可以算出各时段的种群总量。
偏微分方程模型
当要考察的量同时与两个变量有关时，要想描述其变化率的关系，则通常要用偏微分方程模型来描述。
下面介绍考虑人口年龄的连续模型。
设x表示年龄，t表示时间，N(x,t)表示t时刻年龄小于x的人口总数，记
为人类寿命的上限，N(t)为t时的总人口数，设
为人口密度，
为死亡率函数。另外，给出初始条件和边界条件，记最近一次人口普查的时间为t=0，从而
为已知，记
为t时刻单位时间内出生的人口数，则可得到如下的连续人口发展的偏微分方程模型
由偏微分方程理论，我们可以求出人口密度函数P(x,t)。
2、作战模型
问题的提出
影响一个军队战斗力的因素是多方面的，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。
模型分析
甲乙两支部队互相交战，在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的诸多因素转化为数量非常困难。为此，我们作如下假定把问题简化。
- 1. x(t) , y(t) 表示甲乙双方在时刻 t 的人数， x(0)=x0 ,y(0)=y0 分别表示甲乙双方在开战时的初始人数，x0 > 0, y0 >0；
- 2. 设x(t) , y(t)是连续变化的，并且充分光滑；
- 3. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y) , g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率；
- 4. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数
分别对应甲乙双方； - 5. 每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u(t) , v(t) 表示。
模型建立
根据假设得到一般的战争模型
正规作战模型
模型假设
- 1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
- 2.甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。
因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b 、a 分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数。 以rx 、ry 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以 px 、py 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有
模型建立
正规作战数学模型的一般形式
由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为
于是得正规作战的数学模型
模型求解
借助微分方程图解法求解。注意到相平面是指把时间 t作为参数，以 为坐标的平面，而轨线是指相平面中由方程组的解所描述出的曲线。借此可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
求解轨线方程。将模型方程的一式除以二式，得到
用分离变量法得该模型的解
平方律的双曲线
战争结局分析
模型解确定的图形是一条双曲线，箭头表示随着时间t的增加，x(t)、y(t)的变化趋势。而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投降或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K＜0，则乙的兵力减少到
时甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知，K＞0时，甲方获胜。而当 K=0时，双方战平。
甲方获胜的充要条件为
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
故可找到一个用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数：
式中Z表示参战方的初始人数，可以取甲方或乙方。综合战斗力的评价函数暗示参战方的综合战斗力与参战方士兵的射击率（武器装备的性能）、士兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系。
模型应用
正规作战模型在军事上得到了广泛的应用，主要是作战双方的战斗条件比较相当，方式相似。J.H.Engel就曾经用正规战模型分析了著名的硫磺岛战役，发现和实际数据吻合得很好。
游击作战模型
模型假设
- 1.不考虑增援，忽略非战斗减员；
- 2.甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；
- 3.若以
、
分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以
、
分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以
、
分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，、 、 、 主要取决于部队的武器装备的性能和贮备； 、也取决于士兵的个人素质。所以甲方的战斗有效系数
，乙方战斗有效系数 
模型建立
游击作战模型的形式：
由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
模型求解
类似正规作战模型的处理，从模型方程可以得到
进而可得该模型的解
其中 
在相平面中画出如下轨线图
混合作战模型
模型假设
- 1.不考虑增援，忽略非战斗减员；
- 2.甲方以游击作战方式，乙方以正规作战方式；
- 3.以 b 、c分别表示甲乙双方的战斗有效系数，若以 、 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，以
、
分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，以表示甲方的有效活动区域的面积，以表示乙方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，则 ，
模型建立
混合作战的数学模型：
模型求解
该模型的解：
在相平面中画出如下轨线图
模型应用
假定以正规作战的乙方火力较强，以游击作战的甲方虽火力较弱，但活动范围较大，利用上式可以估计乙方为了获胜需投入多大的初始兵力。不妨设
，
，
，活动区域 
平方千米，乙方每次射击的有效面积
平方米，则可得乙方获胜的条件为：
即
，乙方必须10倍于甲方的兵力。
3、传染病模型
问题的提出
上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？
问题分析
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。 把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（SusceptibleI )类；感病者（Infective）；R类，移出者（Removal）
SI模型1
模型假设
- 1.每个病人在单位时间内传染的人数为常数k0；
- 2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。
记时刻t的得病人数为i(t)，开始时有个传染病人，则在
时间内增加的病人数为
得：
其解为：
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律无限增加，显然与实际不符
SI模型2
记时刻t的健康者人数为s(t)
模型假设
- 1.总人数为常数n，且 i(t)+s(t)=0；
- 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k（传染强度）；
- 3.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。
在此假设下可得微分方程
解得：
模型分析
易得
的极大值点为：
。当传染强度k增加时，
将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。但当
时，
，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。
带宣传效应的SI模型3
模型假设
1.单位时间内正常人被传染的比率为常数 ；
2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 由导数的含义和假设，易得微分方程：
解得：
假设宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度。若从
开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为a，则有数学模型为
其中：
为Heaviside函数。求得微分方程的解为：
表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少。
如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等，即在
等m个时刻进行m次宣传，宣传强度分别为 
，则模型变为
解得：
但此时有
，这表明短暂的宣传是不起作用的，最终还是所有的人 都染上了疾病。
SIS模型
有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定无免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。
模型假设
1.总人数为常数n，且i(t)+s(t)=0；
2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k（传染强度）；
3.感病者以固定的比率 h痊愈，而重新成为易感者。
该假设下的模型为：
其解为：
或
模型分析
时，
；
时，
。这里出现了传染病学中非常重要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即 
是一个门槛
SIR模型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。
模型假设
1.总人数为常数n，且i(t)+s(t)+r(t)=n；
2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k（传染强度）；
3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为l，称为恢复系数。
该假设下的模型为：
取初值： 
把前面的两个方程相除，并整理，有：
解之得:
模型分析
易得
；而当
时，i(t)单调下降趋于零；
时，i(t) 先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象：
是一个门槛。
从的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。
令 
可得
假定
，可得：
若记
，则 
，这也就解释了本文开头的为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变的问题。
4、药物试验模型
问题的提出
药物进入机体后，在随血液运输到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收，分布，代谢，最终排除体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液（毫升）中药物含量（微克或毫克），称血药浓度，随时间和空间（机体的各部位）而变化。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高又可能导致药物中毒，副作用太强或造成浪费。因此研究药物在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系（即数学模型），对于新药研究，剂量确定，给药方案设计等药理学和临床医学的发展都有重要的指导意义和使用价值。
问题分析
房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移，一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收，分布，排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定。现在我们只讨论二室模型，即将机体分为血药较丰富的中心室（包括心，肺，肾等器官）和血液较贫乏的周边室（四肢，肌肉组织等）。药物的动态过程在每个房室内室一致的，转移只在两个房室之间以及某个房室与体外之间进行。二室模型的建立和求解方法可以推广到多室模型。
模型假设
1.机体分为中心室（1室）和周边室（2室），两个室的容积（即血药体积或药物分布容积）在过程中保持不变。
2.药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比。
3.只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排除体外。与转移和排除的数量相比，药物的吸收可以忽略。
模型建立
在二室模中设
- 1.
, 
和
分别表示第i室（i=1,2）的血药浓度，药量和容积； - 2.
表示第i室向第j室药物转移速率系数； - 3.
是药物从1室向体外排除的速率系数； - 4.
是给药速率，由给药方式和剂量确定
为方便问题的表述和研究，画出二室模型示意图如下：
注意到
的变化率由1室向2室的转移 
，1室向体外的排除
，2室向1室的转移
及给药 
组成；
的变化率由1室向2室的转移
及2室向1室的转移 
组成。利用函数导数的特点和含义，根据假设条件和上图，可以写出两个房室中药量 
满足的微分方程为
与血药浓度 
，房室容积
之间显然有关系式
代入（1）式可得数学模型
至此，将问题变为了数学问题。 上式中只要给定给药方式函数的具体形式就可以进行微分方程组的求解。
给药方式函数的数学描述与对应的给药方式有如下3种：
1.快速静脉注射
这种注射为在t =0的瞬时将剂量D0的药物输入中心室，血药浓度立即上升为D0/V1，它可以用数学表示为
2.恒速静脉滴注
当静脉滴注的速率为常数k0时，可以用数学表述为
3.口服或肌肉注射
这种给药方式相当于在药物输入中心室之前先有一个将药物吸收入血药的过程，可以简化为有一个吸收室，如下图。
为吸收室的药量，药物由吸收室进入中心室的转移速率系数 为
，于是满足
表示先瞬时吸入全部药量，然后药量在体内按比例减少（指数衰减），D0是给药量。而药物进入中心室的速率为
，求解有
在这种情况下，有数学描述为
5、油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
模型假设
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用r表示。
（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。
模型建立
设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)；
为制造时刻每克白铅中含铅210的数量；
为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量
模型求解
均可测出
可算出白铅中铅的衰变率 
，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。
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