深度学习入门~神经网络的梯度下降④

神经网络的梯度下降

• 浅层神经网络的参数：
  W^【1】,b^【1】,W^【2】,b^【2】，它们的维度分别是(n^【1】,n^【0】),(n^【1】,1),(n^【2】,n^【1】),(n^【2】,1)。
• 暂定我们要实现的浅层神经网络做的是二元分类操作，那么我们的代价函数就和Logistic回归的代价函数相同。即：J = 1/m×∑ⁿ_i=1L(y_hat,y)。
• 在训练神经网络时，将参数随机初始化是很重要的一步操作，而不是将他们全部初始化为0。
• 因此，总结一下，以下是神经网络二元分类问题中，正向传播的过程：
  Forward propagation：
  Z^【1】 = W^【1】X + b^【1】
  A^【1】 = g^【1】(Z^【1】)
  Z^【2】 = W^【2】A^【1】 + b^【2】
  A^【2】 = g^【2】(Z^【2】) = σ(Z^【2】)
  以下是反向传播的过程，即计算导数：
  Back propagation:
  dZ^【2】 = A^【2】 - Y（Y为基本真值，是1×m个样本横向堆叠起来的）
  dW^【2】 = 1/m×dZ^【2】A^【1】T
  db^【2】 = 1/m×np.sum(dZ^【2】,axis = 1,keepdim = True)（np.sum()是numpy的一条指令，它可以计算矩阵某一行或一列的和）
  dZ^【1】 = W^【2】TdZ^【2】*g^【1】’(Z^【1】)（注：1）*为矩阵按位置相乘，这需要两个矩阵的行列数相同。2）g^【1】’(Z^【1】有一撇，代表它是g的导数。）
  dW^【1】 = 1/m×dZ^【1】X^T
  db^【1】 = 1/m×np.sum(dZ^【1】,axis = 1,keepdims = True)（numpy的np.sum()中的参数keepdims是为了放置运算的结果成为秩为1的矩阵）<如果如储层只有一个神经元，那么对于db^【2】的输出是一个1×1的矩阵，即一个实数，而对于db^【1】，它一定是一份n^【1】×1的矩阵，如果想用numpy生成这个多维向量，而不是形式奇怪的一维数组，则需要使用keepdims参数，或使用reshape重塑np.sum得到矩阵的形状>

直观理解反向传播

• 如何计算Logistic回归的梯度？
  
  显然，从正向传播，我们会得到损失函数L(a,y)，而通过反向传播，我们会得到导数项dW，db并以它们来改变参数W和b以更好地拟合二元分类问题样本。
• 从L开始进行反向传播：
  L(a,y) = -yloga - (1-y)log(1-a)
  da = dL(a,y)/da = -y/a + (1-y)/(1-a)
  dz = dL(a,y)/dz =dL/dada/dz = a-y
  dW = dZx
  db = dZ
  
• 将反向传播用于神经网络中：
  
  很明显，在从输出层到第一层的反向传播导数计算，和Logistic回归的反向传播类似，而从第一层到输入层的反向传播，则更为复杂，要考虑维度是否相等的问题，具体的导数表达式如下👇。
  
  👇右侧为神经网络反向传播的向量化版本：
  
  所谓向量化是指输入不再是单一的输入向量，而是由多个样本按列展开堆叠而形成的输入矩阵。因此，使用大写字母更新导数项的表示，它们都是矩阵，列数由1扩展为m，因为由m个训练样本，而×1/m是因为这是对m个样本求的平均值。