原文链接：http://tecdat.cn/?p=20360
本文将说明金融数学中的R 语言优化投资组合，因子模型的实现和使用。
具有单一市场因素的宏观经济因素模型
我们将从一个包含单个已知因子（即市场指数）的简单示例开始。该模型为
其中显式因子ft为S＆P 500指数。我们将做一个简单的最小二乘（LS）回归来估计截距α和加载β：
大多数代码行用于准备数据，而不是执行因子建模。让我们开始准备数据：
-
-
-
# 设置开始结束日期和股票名称列表
-
begin_date
<- "2016-01-01"
-
end_date
<- "2017-12-31"
-
-
-
# 从YahooFinance下载数据
-
data_set
<- xts()
-
for
(stock_index in 1:length(stock_namelist))
-
data_set
<- cbind(data_set, Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
-
from =
begin_date, to = end_date,
-
head(data_set)
-
#> AAPL AMD ADI ABBV AEZS A APD AA CF
-
#> 2016-01-04 98.74225 2.77 49.99239 49.46063 4.40 39.35598 107.89010 23.00764 35.13227
-
#> 2016-01-05 96.26781 2.75 49.62508 49.25457 4.21 39.22057 105.96097 21.96506 34.03059
-
#> 2016-01-06 94.38389 2.51 47.51298 49.26315 3.64 39.39467 103.38042 20.40121 31.08988
-
#> 2016-01-07 90.40047 2.28 46.30082 49.11721 3.29 37.72138 99.91463 19.59558 29.61520
-
#> 2016-01-08 90.87848 2.14 45.89677 47.77789 3.29 37.32482 99.39687 19.12169 29.33761
-
#> 2016-01-11 92.35001 2.34 46.98954 46.25827 3.13 36.69613 99.78938 18.95583 28.14919
-
-
head(SP500_index)
-
#> index
-
#> 2016-01-04 2012.66
-
#> 2016-01-05 2016.71
-
#> 2016-01-06 1990.26
-
#> 2016-01-07 1943.09
-
#> 2016-01-08 1922.03
-
#> 2016-01-11 1923.67
-
plot(SP500_index)
-
-
-
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
-
X <- diff(log(data_set), na.pad =
FALSE)
-
N <- ncol(X)
# 股票数量
-
T <- nrow(X)
# 天数
现在我们准备进行因子模型拟合。LS拟合很容易在R中实现，如下所示：
-
-
beta <- cov(X,f)/
as.numeric(
var(f))
-
alpha <- colMeans(X) - beta*colMeans(f)
-
sigma2 <- rep(NA, N)
-
-
print(alpha)
-
#> index
-
#> AAPL 0.0003999086
-
#> AMD 0.0013825599
-
#> ADI 0.0003609968
-
#> ABBV 0.0006684632
-
#> AEZS -0.0022091301
-
#> A 0.0002810616
-
#> APD 0.0001786375
-
#> AA 0.0006429140
-
#> CF -0.0006029705
-
print(beta)
-
#> index
-
#> AAPL 1.0957919
-
#> AMD 2.1738304
-
#> ADI 1.2683047
-
#> ABBV 0.9022748
-
#> AEZS 1.7115761
-
#> A 1.3277212
-
#> APD 1.0239453
-
#> AA 1.8593524
-
#> CF 1.5702493
或者，我们可以使用矩阵表示法进行拟合
，我们定义
和扩展因子
。然后最小化
-
t(
X) %*%
F_ %*%
solve(
t(
F_) %*%
F_)
-
-
#>
alpha
beta
-
#>
AAPL 0
.0003999086 1
.0957919
-
#>
AMD 0
.0013825599 2
.1738304
-
#>
ADI 0
.0003609968 1
.2683047
-
#>
ABBV 0
.0006684632 0
.9022748
-
#>
AEZS
-0
.0022091301 1
.7115761
-
#>
A 0
.0002810616 1
.3277212
-
#>
APD 0
.0001786375 1
.0239453
-
#>
AA 0
.0006429140 1
.8593524
-
#>
CF
-0
.0006029705 1
.5702493
-
E <
-
xts(
t(
t(
X)
-
Gamma %*%
t(
F_)),
index(
X)) # 残差
-
另外，我们可以简单地使用R为我们完成工作：
-
-
cbind(alpha = factor_model$alpha, beta = factor_model$beta)
-
#> alpha index
-
#> AAPL 0.0003999086 1.0957919
-
#> AMD 0.0013825599 2.1738304
-
#> ADI 0.0003609968 1.2683047
-
#> ABBV 0.0006684632 0.9022748
-
#> AEZS -0.0022091301 1.7115761
-
#> A 0.0002810616 1.3277212
-
#> APD 0.0001786375 1.0239453
-
#> AA 0.0006429140 1.8593524
-
#> CF -0.0006029705 1.5702493
可视化协方差矩阵
有趣的是，可视化对数收益率[算术处理误差]
以及残差Ψ的估计协方差矩阵。让我们从对数收益率的协方差矩阵开始：
-
-
main =
"单因子模型对数收益的协方差矩阵")
我们可以观察到所有股票都是高度相关的，这是市场因素的影响。为了检查股票相关关系，我们绘制相关图：
-
plot(
cov2cor(
Psi),
-
main =
"残差协方差矩阵")
-
-
cbind(stock_namelist, sector_namelist) # 股票的行业
-
#
> stock_namelist sector_namelist
-
#
> [1,] "AAPL" "Information Technology"
-
#
> [2,] "AMD" "Information Technology"
-
#
> [3,] "ADI" "Information Technology"
-
#
> [4,] "ABBV" "Health Care"
-
#
> [5,] "AEZS" "Health Care"
-
#
> [6,] "A" "Health Care"
-
#
> [7,] "APD" "Materials"
-
#
> [8,] "AA" "Materials"
-
#
> [9,] "CF" "Materials"
有趣的是，我们可以观察到对Ψ执行的自动聚类可以正确识别股票的行业。
评估投资资金
在此示例中，我们将基于因子模型评估几种投资基金的绩效。我们将标准普尔500指数作为明确的市场因素，并假设无风险收益为零 rf = 0。特别是，我们考虑六种交易所买卖基金（ETF）：
我们首先加载数据：
-
-
-
# 设置开始结束日期和股票名称列表
-
begin_date <-
"2016-10-01"
-
end_date <-
"2017-06-30"
-
-
# 从YahooFinance下载数据
-
data_set <- xts()
-
for (stock_index
in
1:length(stock_namelist))
-
data_set <- cbind(data_set,
Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
-
-
head(data_set)
-
#> SPY XIVH SPHB SPLV USMV JKD
-
#> 2016-10-03 203.6610 29.400 31.38322 38.55683 42.88382 119.8765
-
#> 2016-10-04 202.6228 30.160 31.29729 38.10687 42.46553 119.4081
-
#> 2016-10-05 203.5195 30.160 31.89880 38.02249 42.37048 119.9421
-
#> 2016-10-06 203.6610 30.160 31.83196 38.08813 42.39899 120.0826
-
#> 2016-10-07 202.9626 30.670 31.58372 37.98500 42.35146 119.8296
-
#> 2016-10-10 204.0197 31.394 31.87970 38.18187 42.56060 120.5978
-
-
head(
SP500_index)
-
#> index
-
#> 2016-10-03 2161.20
-
#> 2016-10-04 2150.49
-
#> 2016-10-05 2159.73
-
#> 2016-10-06 2160.77
-
#> 2016-10-07 2153.74
-
#> 2016-10-10 2163.66
-
-
# 计算股票和SP500指数的对数收益率作为显式因子
-
X <- diff(log(data_set), na.pad =
FALSE)
-
N <- ncol(
X) # 股票数量
-
T <- nrow(
X) # 天数
-
-
现在我们可以计算所有ETF的alpha和beta：
-
-
#>
alpha
beta
-
#>
SPY 7
.142225e-05 1
.0071424
-
#>
XIVH 1
.810392e-03 2
.4971086
-
#>
SPHB
-2
.422107e-04 1
.5613533
-
#>
SPLV 1
.070918e-04 0
.6777149
-
#>
USMV 1
.166177e-04 0
.6511667
-
#>
JKD 2
.569578e-04 0
.8883843
现在可以进行一些观察：
- SPY是S＆P 500的ETF，如预期的那样，其alpha值几乎为零，beta值几乎为1： α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。
- XIVH是具有高alpha值的ETF，计算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2个数量级）： α= 1.810392×10-3。
- SPHB是一种ETF，据推测具有很高的beta，而计算出的beta却是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，计算出的alpha为负，因此，该ETF应谨慎。
- SPLV是降低波动性的ETF，实际上，计算得出的beta偏低：β= 0.6777072。
- USMV还是降低波动性的ETF，实际上，计算出的beta是最低的：β= 0.6511671。
- JKD显示出很好的折衷。
我们可以使用一些可视化：
-
-
barplot(
rev(
alpha), horiz = TRUE, main =
"alph
我们还可以使用例如Sharpe比率，以更系统的比较不同的ETF。回顾一种资产和一个因素的因子模型
我们获得
夏普比率如下：
假设
。因此，基于Sharpe比率对不同资产进行排名的一种方法是根据α/β比率对它们进行排名：
-
-
print(ranking)
-
#> alpha/beta SR alpha beta
-
#> XIVH 7.249952e-04 0.13919483 1.810392e-03 2.4971086
-
#> JKD 2.892417e-04 0.17682677 2.569578e-04 0.8883843
-
#> USMV 1.790904e-04 0.12280053 1.166177e-04 0.6511667
-
#> SPLV 1.580189e-04 0.10887903 1.070918e-04 0.6777149
-
#> SPY 7.091574e-05 0.14170591 7.142225e-05 1.0071424
-
#> SPHB -1.551287e-04 0.07401566 -2.422107e-04 1.5613533
可以看到：
- 就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α负）。
- 就夏普比率（更确切地说，是信息比率，因为我们忽略了无风险利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。这证实了大多数投资基金的表现不超过市场的观点。
- 显然，无论以哪种衡量标准，SPHB都是最差的：负α，负β比率和Sharpe比率。
- JDK之所以能够取得最佳性能，是因为它的alpha值很好（尽管不是最好的），而同时具有0.88的中等beta值。
- XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市场上具有极端敞口。
- USMV在市场上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。
Fama-French三因子模型
该示例将说明使用标准普尔500指数中的九种股票的Fama-French三因子模型。让我们从加载数据开始：
-
-
-
# 设置开始结束日期和股票名称列表
-
begin_date <-
"2013-01-01"
-
end_date <-
"2017-08-31"
-
-
# 从YahooFinance下载数据
-
data_set <- xts()
-
for (stock_index
in
1:length(stock_namelist))
-
data_set <- cbind(data_set,
Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
-
-
# 下载Fama-French因子
-
-
-
head(fama_lib)
-
#> Mkt.RF SMB HML
-
#> 1926-07-01 0.10 -0.24 -0.28
-
#> 1926-07-02 0.45 -0.32 -0.08
-
#> 1926-07-06 0.17 0.27 -0.35
-
#> 1926-07-07 0.09 -0.59 0.03
-
#> 1926-07-08 0.21 -0.36 0.15
-
#> 1926-07-09 -0.71 0.44 0.56
-
tail(fama_lib)
-
#> Mkt.RF SMB HML
-
#> 2017-11-22 -0.05 0.10 -0.04
-
#> 2017-11-24 0.21 0.02 -0.44
-
#> 2017-11-27 -0.06 -0.36 0.03
-
#> 2017-11-28 1.06 0.38 0.84
-
#> 2017-11-29 0.02 0.04 1.45
-
#> 2017-11-30 0.82 -0.56 -0.50
-
-
# 计算股票的对数收益率和Fama-French因子
-
X <- diff(log(data_set), na.pad =
FALSE)
-
N <- ncol(
X) #股票数量
-
-
现在我们在矩阵F中具有三个因子，并希望拟合模型
，其中现在的载荷是一个beta矩阵：
。我们可以做最小二乘拟合，最小化
。更方便地，我们定义
和扩展因子 
。然后可以将LS公式写为最小化
-
print(
Gamma)
-
#>
alpha
b1
b2
b3
-
#>
AAPL 1
.437845e-04 0
.9657612
-0
.23339130
-0
.49806858
-
#>
AMD 6
.181760e-04 1
.4062105 0
.80738336
-0
.07240117
-
#>
ADI
-2
.285017e-05 1
.2124008 0
.09025928
-0
.20739271
-
#>
ABBV 1
.621380e-04 1
.0582340 0
.02833584
-0
.72152627
-
#>
AEZS
-4
.513235e-03 0
.6989534 1
.31318108
-0
.25160182
-
#>
A 1
.146100e-05 1
.2181429 0
.10370898
-0
.20487290
-
#>
APD 6
.281504e-05 1
.0222936
-0
.04394061 0
.11060938
-
#>
AA
-4
.587722e-05 1
.3391852 0
.62590136 0
.99858692
-
#>
CF
-5
.777426e-04 1
.0387867 0
.48430007 0
.82014523
另外，我们可以使用R完成：
-
#>
alpha
Mkt
.RF
SMB
HML
-
#>
AAPL 1
.437845e-04 0
.9657612
-0
.23339130
-0
.49806858
-
#>
AMD 6
.181760e-04 1
.4062105 0
.80738336
-0
.07240117
-
#>
ADI
-2
.285017e-05 1
.2124008 0
.09025928
-0
.20739271
-
#>
ABBV 1
.621380e-04 1
.0582340 0
.02833584
-0
.72152627
-
#>
AEZS
-4
.513235e-03 0
.6989534 1
.31318108
-0
.25160182
-
#>
A 1
.146100e-05 1
.2181429 0
.10370898
-0
.20487290
-
#>
APD 6
.281504e-05 1
.0222936
-0
.04394061 0
.11060938
-
#>
AA
-4
.587722e-05 1
.3391852 0
.62590136 0
.99858692
-
#>
CF
-5
.777426e-04 1
.0387867 0
.48430007 0
.82014523
统计因子模型
现在让我们考虑统计因子模型或隐式因子模型，其中因子和载荷均不可用。调用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：
- PCA：
- 样本均值：
- 矩阵：
- 样本协方差矩阵：
- 特征分解：
- 样本均值：
- 估计：
-
- 更新特征分解：
- 重复步骤2-3，直到收敛为止。
-
#>
alpha
-
#>
AAPL 0
.0007074564 0
.0002732114
-0
.004631647
-0
.0044814226
-
#>
AMD 0
.0013722468 0
.0045782146
-0
.035202146 0
.0114549515
-
#>
ADI 0
.0006533116 0
.0004151904
-0
.007379066
-0
.0053058139
-
#>
ABBV 0
.0007787929 0
.0017513359
-0
.003967816
-0
.0056000810
-
#>
AEZS
-0
.0041576357 0
.0769496344 0
.002935950 0
.0006249473
-
#>
A 0
.0006902482 0
.0012690079
-0
.005680162
-0
.0061507654
-
#>
APD 0
.0006236565 0
.0005442926
-0
.004229364
-0
.0057976394
-
#>
AA 0
.0006277163 0
.0027405024
-0
.009796620
-0
.0149177957
-
#>
CF
-0
.0000573028 0
.0023108605
-0
.007409061
-0
.0153425661
同样，我们可以使用R完成工作：
-
#>
alpha
factor1
factor2
factor3
-
#>
AAPL 0
.0007074564 0
.0002732114
-0
.004631647
-0
.0044814226
-
#>
AMD 0
.0013722468 0
.0045782146
-0
.035202146 0
.0114549515
-
#>
ADI 0
.0006533116 0
.0004151904
-0
.007379066
-0
.0053058139
-
#>
ABBV 0
.0007787929 0
.0017513359
-0
.003967816
-0
.0056000810
-
#>
AEZS
-0
.0041576357 0
.0769496344 0
.002935950 0
.0006249473
-
#>
A 0
.0006902482 0
.0012690079
-0
.005680162
-0
.0061507654
-
#>
APD 0
.0006236565 0
.0005442926
-0
.004229364
-0
.0057976394
-
#>
AA 0
.0006277163 0
.0027405024
-0
.009796620
-0
.0149177957
-
#>
CF
-0
.0000573028 0
.0023108605
-0
.007409061
-0
.0153425661
通过不同因子模型进行协方差矩阵估计的最终比较
我们最终将比较以下不同的因子模型：
- 样本协方差矩阵
- 宏观经济一因素模型
- 基本的三因素Fama-French模型
- 统计因素模型
我们在训练阶段估计模型，然后将估计的协方差矩阵与测试阶段的样本协方差矩阵进行比较。估计误差将根据PRIAL（平均损失提高百分比）进行评估：
加载训练和测试集：
-
# 设置开始结束日期和股票名称列表
-
begin_date <-
"2013-01-01"
-
end_date <-
"2015-12-31"
-
-
# 准备股票数据
-
data_set <- xts()
-
for (stock_index
in
1:length(stock_namelist))
-
data_set <- cbind(data_set,
Ad(getSymbols(stock_namelist[stock_index],
-
-
-
# Fama-French 因子
-
mydata <- mydata[-nrow(mydata),
-
-
-
# 准备指数
-
f_SP500 <- diff(log(
SP500_index), na.pad =
FALSE)
-
-
# 将数据拆分为训练数据和测试数据
-
T_trn <- round(
0.45*
T)
-
X_trn <-
X[
1:
T_trn, ]
-
X_tst <-
X[(
T_trn+
1):
T, ]
现在让我们用训练数据估算不同的因子模型：
-
-
# 样本协方差矩阵
-
Sigma_SCM <- cov(X_trn)
-
-
# 单因素模型
-
Gamma <- t(solve(t(F
_) %*% F
_, t(F
_) %*% X_trn))
-
-
E <- xts(t(t(X_trn) - Gamma %*% t(F
_)), index(X_trn))
-
-
# Fama-French三因子模型
-
-
Sigma_FamaFrench <- B %*% cov(F_FamaFrench_trn) %*% t(B) + diag(diag(Psi))
-
-
# 统计单因子模型
-
-
while (norm(Sigma - Sigma_prev,
"F")/norm(Sigma,
"F") >
1e-
3) {
-
B <- eigSigma$vectors[,
1
:K, drop = FALSE] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[
1
:K]), K, K)
-
-
-
-
# 统计三因子模型
-
K <-
3
-
-
while (norm(Sigma - Sigma_prev,
"F")/norm(Sigma,
"F") >
1e-
3) {
-
B <- eigSigma$vectors[,
1
:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[
1
:K]), K, K)
-
Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
-
-
Sigma_PCA3 <- Sigma
-
-
# 统计五因子模型
-
K <-
5
-
-
eigSigma <- eigen(Sigma)
-
while (norm(Sigma - Sigma_prev,
"F")/norm(Sigma,
"F") >
1e-
3) {
-
B <- eigSigma$vectors[,
1
:K] %*% diag(sqrt(eigSigma$values[
1
:K]), K, K)
-
Psi <- diag(diag(Sigma - B %*% t(B)))
最后，让我们比较测试数据中的不同估计：
-
-
Sigma_true <- cov(
X_tst)
-
-
barplot(
error, main =
"协方差矩阵估计误差",
-
-
PRIAL <-
100*(
ref - error^
2)/ref
-
-
barplot(
PRIAL, main =
"协方差矩阵估计的先验方法",
最终可以看到使用因子模型进行协方差矩阵估计会有所帮助。
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1.用机器学习识别不断变化的股市状况—隐马尔科夫模型(HMM)的应用
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转载：https://blog.csdn.net/qq_19600291/article/details/113863525
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