常见算法思想——分治法

简单介绍

  分治法可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。
  分治法的精髓：
   1.分–将问题分解为规模更小的子问题；
   2.治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
   3.合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解.

详细介绍

算法概述

  在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……等等。

算法简介

  任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
  例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
  分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
  分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
  如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
  分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
   1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
   2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
   3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
   4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
  上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

算法步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：
1.分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
2.解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
3.合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

实例演示

题目描述

给定一个顺序表，编写一个求出其最大值和最小值的分治算法。

题目解析

从简，顺序表取一整形数组数组，数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 ，则可以直接给出结果。如果大小为 2，则一次比较即可得出结果，于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了，只要求解的问题数组长度比 2 大，就继续分治，否则求解子问题的解并更新全局解。

完整代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define M 10
//分治法获取最优解 
void PartionGet(int s, int e, int* meter, int* max, int* min) 
{
   
	// s 当前分治段的开始下标
	// e 当前分治段的结束下标
	// meter 表的地址
	// max 存储当前搜索到的最大值
	// min 存储当前搜索到的最小值
	int i;
	if (e - s <= 1)
	{
     //获取局部解，并更新全局解 
		if (meter[s] > meter[e])
		{
   
			if (meter[s] > * max)
				*max = meter[s];
			if (meter[e] < *min)
				*min = meter[e];
		}
		else
		{
   
			if (meter[e] > * max)
				*max = meter[e];
			if (meter[s] < *min)
				*min = meter[s];
		}
		return;
	}
	i = s + (e - s) / 2;  //不是子问题继续分治,这里使用了二分，也可以是其它 
	PartionGet(s, i, meter, max, min);
	PartionGet(i + 1, e, meter, max, min);
}
int main()
{
   
	int i, meter[M];
	int max = INT_MIN;  //用最小值初始化 
	int min = INT_MAX;  //用最大值初始化 
	printf("The Array's Element As Followed:\n\n");
	rand();  //初始化随机数发生器 
	for (i = 0; i < M; i++)
	{
     //随机数据填充数组 
		meter[i] = rand() % 10000;
		if (!((i + 1) % 10))  //输出表的随机数据 
			printf("%-6d\n", meter[i]);
		else
			printf("%-6d", meter[i]);
	}
	PartionGet(0, M - 1, meter, &max, &min);  //分治法获取最值 
	printf("\nMax : %d\nMin : %d\n\n", max, min);
	system("pause");
	return 0;
}