R语言中的模拟过程和离散化：泊松过程和维纳过程_飞道的博客

R语言中的模拟过程和离散化：泊松过程和维纳过程

2020-12-28 19:21 386人阅读评论(0)

原文链接：http://tecdat.cn/?p=17303

本文中，我们讨论了一个将Poisson过程与Wiener过程结合在一起的最佳算法的问题。实际上，为了生成泊松过程，我们总是习惯于模拟跳跃之间的持续时间。我们使用给定时间间隔内跳跃的均匀性，该条件取决于跳跃的次数。

首先，我们可以生成一个可能具有漂移的维纳过程，然后在其旁边，我们可以生成指数定律（这将对应于跳跃之间的时间），还可以生成跳跃幅度。我们在这里

要么。我们首先通过注意

其中增量是高斯（均值和方差），并且彼此独立。至于跳跃之间的持续时间，它们是独立的平均指数定律。这是代码，


  
   
    
     
    
    
     
      n=1000
     
    
   
    
     
    
    
     
      h=1/n
     
    
   
    
     
    
    
     
      lambda=5
     
    
   
    
     
    
    
     
      set.seed(2)
     
    
   
    
     
    
    
     
      W=c(0,cumsum(rnorm(n,sd=sqrt(h))))
     
    
   
    
     
    
    
     
      W=rexp(100,lambda)
     
    
   
    
     
    
    
     
      N=sum(cumsum(W)
      <1)
     
    
   
    
     
    
    
     
      T=
      cumsum(W[1:N])
     
    
   
    
     
    
    
     
      X=
      -rexp(N)

问题是对于维纳过程，我们必须离散化，而对于复合泊松过程，我们不能离散化。但是，他们有相同的时间范围。第一种方法是建立trunc函数


  
   
    
     
    
    
      
     
    
   
    
     
    
    
     
      W[trunc(n*t)+1]+sum(X[T
      <=t])+lambda*t

然后可视化


  
   
    
     
    
    
     
      L=Vectorize(Lt
     
    
   
    
     
    
    
      
     
    
   
    
     
    
    
     
      plot(u,L(u),type="l

另一种可能性是使用我在引言中提到的泊松过程的均匀性。因为泊松过程满足一个特性：如果是第i个跳跃发生的日期，则有条件基于以下事实：，变量

对应于的订单统计独立变量，是均匀分布

该属性可在 Wolff（1982）中找到。我们从一个（单个）跳跃开始，

即我们找到一个统一的分布函数。然后，我们进行2跳，3跳等迭代。

这个想法的R翻译很简单

N=rpois(1,lambda)

然后，一种策略是离散化Poisson过程，与Wiener过程的时间步长相同，


  
   
    
     
    
    
     
      indice=trunc(T*n
     
    
   
    
     
    
    
     
      processus=W+cumsum(saut)+lambda*u

我们发现与以前相同的轨迹

通过此过程，我们不能在同一时间间隔内有两次跳跃。泊松过程的特征是

因此，极少有机会同时进行两次跳跃，尤其是在时间步长较小的情况下。如果我们生成数千条轨迹，那么一次出现问题的可能性就可以忽略不计。

有一个主意是采用离散均匀分布，

T=c(0,sort(sample((1:(n-1)/n),size=N,replace=FALSE)))

以避免同时发生两次跳跃。

为此，我们可以做一些测试。例如，生成一些模拟以具有一百次跳跃（因此两次跳跃之间的持续时间为一百次），然后进行指数定律检验。


  
   
    
     
    
    
     
      VT=0
     
    
   
    
     
    
    
     
      for(ns in 1:20){
     
    
   
    
     
    
    
     
      N=rpois(1