算法与数据结构学习（52）-程序员常用10种算法（动态规划算法）

动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4. 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复
3. 思路分析和图解

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
• 这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
• 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

代码实现

package dynamic;

public class KnapsaackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		
		int[] w = {1,4,3};//保存物品的重量
		int[] val = {1500,3000,2000};//记录物品价值这里的val[i] = v[i]
		int m = 4;//背包容量
		int n = val.length;//物品个数
		
		
		//创建二位数组，
		//v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
		int[][] v =new  int[n+1][m+1];
		//为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组
		int[][] path = new int[n+1][m+1];
	
		
		//初始化第一行和第一列
		for(int i = 0;i<v.length;i++) {
			v[i][0] = 0;//将第一列设置为0
		}
		for(int i = 0;i<v[0].length;i++) {
			v[0][i] = 0;//将第一行设置为0
		}
		
		//根据前面得到的公式动态处理
		for(int i = 1;i<v.length;i++) {//不处理第一行
			for(int j=1;j<v[0].length;j++) {//代表不处理第一列
				//公式
				if(w[i-1] >j) {//因为我们的程序i是从1开始，因此原来的w[i]要修改成w[i-1]
					v[i][j] = v[i-1][j];
				}else {//
					//说明：因为i从1开始，因此公式需要调成下面的
					 //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//为了记录商品存放的背包的情况，我们不能简单实用上面公式，需要用if-else体现
					if(v[i-1][j] < val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]] ) {
						v[i][j] =  val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
						//把当前情况记录下来
						path[i][j] = 1;
					}else {
						v[i][j] =v[i-1][j];
					}
				}
			}
		}
		
		//输出v,
		for(int i = 0;i<v.length;i++) {
			for(int j = 0;j<v[i].length;j++) {
				System.out.print(v[i][j]+"\t");
			}
			System.out.println();
		}
		
		//输出我们放入的是哪些物品
		//这样输出有冗余的数据，我们只需要最后的放入情况
//		for(int i = 0;i<path.length;i++) {
//			for(int j = 0;j<path[i].length;j++) {
//				if(path[i][j] ==1) {
//					System.out.printf("第%d个商品放入了背包\n",i);
//				}
//			}
//		}
		
		int i= path.length-1;//行的最大下标
		int j =path[0].length -1;//列的最大下标
		while(i>0 && j>0) {
			if(path[i][j] ==1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入了背包\n",i);
				j -=w[i-1];
			}
			i--;
		}
		
	}

}