这个题网上有很多动态规划的解法，可能是我太菜的原因，不讲得很详细我是不会懂的，于是我自己重新梳理了一遍。尽量能让所有人都能知道该怎么用动态规划去解决这个问题。本文有点长，主要记录了分析的整个过程，图文并茂，相信像我这样的小白也能搞懂动态规划。体验一把手撕动态规划的感觉。
题目
问题描述
如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。即 a[2i]<a[2i-1], a[2i+1]>a[2i]。
小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。
输入格式
输入一行包含两个整数 m，n。
输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
样例输入
3 4
样例输出
14
样例说明
以下是符合要求的摆动序列：
2 1 2
2 1 3
2 1 4
3 1 2
3 1 3
3 1 4
3 2 3
3 2 4
4 1 2
4 1 3
4 1 4
4 2 3
4 2 4
4 3 4
评测用例规模与约定
对于 20% 的评测用例，1 <= n, m <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n, m <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000。
思考
这个题目要求的是摆动序列的数目。那什么是摆动序列呢？ 要保证任意的奇数项 > 前一个偶数项，任意偶数项 < 前一个奇数项。需要注意的是单独的一项也是一个合法的摆动序列。比如当m=1，n=2的时候，合法的摆动序列为1和2。如下图所示：
摆动序列的长度是不固定的，m为3的时候我们还可以自己凑出来，但是序列的长度如果为几十，几百呢？那可凑不出来了。
序列的长度为m，可以选择的数字的范围为[1,n]。最朴素的想法应该就是一个一个去试错。我们把长度为m的序列想象成m个格子，每个格子可以放1~n之间的任意数字。注意放的时候需要满足摆动序列的条件即可。然后我们一层一层地进行遍历，当我们在第一个格子上放入了2以后，我们又在2 ~ n之间进行遍历，依次取值放入第二个格子，第一格子放了2，第二个格子的值只能放入比第一个格子的值小的数字，在这里自然只能放1，然后到第三个格子，又开始依次判断1 ~ n之间的数字是否能放进去。直到遍历到第m个格子的时候，就说明找到了一个可能性，然后记录下来。
这样的时间复杂度取决于m的大小，m不是很大还好，但是当m的数量为几十，甚至几百的时候，这样的时间复杂度是可怕的。如果要用递归来做的话，递归的深度最深可以达到一千层。对于Java来说，递归的调用栈最深也不超过五十，如果要达到几百甚至一千的递归深度，那还是尽早放弃这种方法为好。
动态规划=动态递推
思考
然后我们就开始动动脑筋，既然是算法题，不可能说没有任何规律可言。要使长度为m的序列满足摆动序列的条件，我们只需要每次往第i个格子放数字的时候进行一下判断：若当前是偶数项，就得保证当前项的值小于前一项。（当前项是偶数项，前一项肯定是奇数项）。若当前项是奇数项，就得保证当前项的值一定要大于前一项。
序列的长度m可能会很大，但是我们不用关心m的长度，我们只需要每次放入一个值的时候判断一下，判断需要放入的值s[i]和前一项s[i - 1]的关系，若关系满足，则可以放入。不用关心整个序列，只用聚焦当前项和前一项即可。这时候自然回想：如果这两者之间有什么关系该多好。
如下图所示，当我们往第三个格子放入x以后，截止到当前的第三个格子，此时能组成多少种合法的摆动序列？当前项放入x已经固定，但是前一项的取值却不固定。由于第三项是奇数项，则前一项的值要小于当前项，所以前一项的取值范围为：1 ~ x-1。对于奇数项：我们若是知道当前项取值为x的时候，截止到前一项的所有合法的序列的数目为y1，那么截止到当前项，在当前项取值为x的情况下，所能组成的合法摆动序列的数目y = y1。同样的对于前一项，当前一项取值为[1,x-1]的时候，前一项所能组成的合法序列的数目，也应该分开来看。
有些人可能一下子不适应这种思考方式，让我们接着慢慢来看。
如下图所示，m=6,n=7，我要求的应该是长度为6的摆动序列的数目，你求长度为3，求长度为4的摆动序列的数目干甚？别急，这就是动态规划的精髓。我要求长度为6的摆动序列的数目，那么当我求出长度为5的摆动序列的数目以后我累加一下便是长度为6的，同理求长度为5的我得先知道长度为4的摆动序列的数目。一句话：决定你当前的是你的昨天或者是你的明天。
如果上面说的还是不好理解，我们再看这个图。
当前项为奇数项，且取值为x。当前项为奇数项，前一项为偶数项，取值范围为[1,x-1]。若我们能求出前一项取值为1的时候，截止到前一项所能组成的合法序列的数目S1；当前一项取值为2的时候，截止到前一项所能组成的合法序列的数目S2，一直到前一项为取值为x-1的时候，能组成的合法序列的数目为Sn我们都求出来了。那么对于当前项取值为x的时候，截止到当前项所能组成的合法的序列的数目应该为：S=S1+S2+S3…+Sn。
然后这样递推下去，直到当前项为第m项。
对应到这个图，我们求的是什么？求的是x往下延伸到第一项的所有分支的数目。
我只分析了奇数项，偶数项也是如此，只是取值范围有些不同。当前项为偶数项，且取值为x的时候，前一项的取值范围为[x+1,n]。
如果到这里都还能明白的话，那动态规划的解法你也就会了。动态规划说白了就是动态递推。我们只要搞清楚一个值和另一个值的关系，一直这样递推下去就能得到最终的解答。动态规划的英文为Dynamic Programming。翻译为动态编程都还好，翻译为动态规划就给人太玄乎的感觉，好像就是高瞻远瞩的感觉，但其实相反，动态规划关心的是局部，而不是一上来就是看整体。
动态规划的例题
编程解决
代码一（未优化）
思考
只要懂了动态规划的思想，这个题目我们就可以开始干了。
若当前项取值为x，我们要求出截止到当前项为止能组成的摆动序列的数目，要求出截止到当前，我们要看的是到前一项能组成的摆动序列的数目。对于任一项，我们应该得知这些信息：对于长度为m的序列而言当前项是第几项，然后当前项的取值是多少，当前项的取值为x时能组成的合法的摆动序列的数目。只有这样才能一步一步地推下去，直到推到最后一项。
所以，对于任意一项，起码需要保存三个信息。当前项的位置（坐标i），当前项的取值x，以及当前取值为x时能组成的合法的摆动序列的数目。一般来说存数据，都是用数组。
我们看看，对于一维数组而言，任何一个数组a[i]只能保存或者对应两个信息：当前坐标i，当前坐标下保存的数据a[i]，这充其量也就只能保存两种信息。
而二维数组呢？
对于a[i][j]。横坐标可以算一个信息，纵坐标可以算一个信息，横纵坐标对应的值a[i][j]也可以算是一种信息。刚好三种，这就挺合适的。
对应到我们的这个题目：我们建立一个二维数组dp[i][j]（dp为动态规划的英文缩写）：i可以表示当前项是对于长度为m的序列而言是第几项，j可以表示当前项取值为j，dp[i][j]表示当前项取值为j时能组成的合法序列的数目（截止到第i项）。对于长度为m的序列，我们只需要保证任意两项都满足摆动序列的定义，那么整个序列一定也是一个合法的摆动序列。
在这里，有个小问题，对于序列而言，我们是从1开始计数的，第1项，第2项，第3项，但是对于数组，我们是从0开始计数的。为了一一对应，我们的数组也可以从1开始计数。而j表示的是第i项的取值，n的取值范围为1~n，所以纵坐标也是从1开始的，最大值为n，而若建立的数组只是n列的话，只能到n-1。
所以，如果要求的序列的长度为m，取值范围为n，那么我们可以建立一个m+1行，n+1列的数组。如下图所示，第一行和第一列空着，我们所使用的数组范围就是蓝色方框的范围。
](https://imgchr.com/i/JqsvHx)
这样的做法叫做动态规划（Dynamic Programming），所以建立的数组可以为dp[m+1][n+1]。dp[i][j]代表的意义一定要明白，这是做题的基础。
对于dp[1][2]，i=1表示当前项位于序列的第一项，j=2表示第一项的取值为2。dp[1][2]表示当第1项取值为2的时候，截止到当前位置，能组成的合法的摆动序列数目。如果不太明白，可以回过头去看那幅分叉的树状图。
对于第一项，比较特殊。也就是数组的第二行，我们该怎么填？第一项为奇数项，由于它前面什么都没有，也就是说在1 ~ n的范围内可以随便取。由于它前面没有什么元素，有且仅为一项，所以dp[1][j]只能组成一种合法的摆动序列。
但是这里有个小问题，比如对于dp[1][1]，表示第一项取值为1，如果序列的长度为1，这是没有任何问题的，但是一旦序列的长度大于1，比如2，由于第二项为偶数项，需要比第一项的值小，但是第一项为1也就是最小值，第二项是不可能再比第一项小，所以这种可能从一开始就被否定了。在这里我取值为0。
第二项是偶数项，前一项为奇数项。偶数项要小于奇数项。偶数项取值x，奇数项能取值的范围为[x+1,n]。第二项为1，也就是对于dp[2][1]，前一项能取值的范围为[2,n]这里的n为4，也就是说有三种取法，即2,3,4。而对于前一项而言，当前一项取值为2的时候，它的可能性的数目则是由它的前一项来决定的。
代码
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
int m = input.nextInt();
int n = input.nextInt();
input.close();
if (m == 1) {
System.out.println(n);
return;
}
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
if (j == 1) {
dp[1][j] = 0;
} else {
dp[1][j] = 1;
}
}
for (int i = 2; i <= m; ++i) {
// 当为奇数行时
// 有的人喜欢用i & 1来判断奇偶，对于java来说，这样倒是没啥必要，因为编译器还是挺智能的，不会一个一个地去取模来判断奇偶
if ((i % 2) == 1) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
for (int k = 1; k < j; ++k) {
// 累加，求出dp[i][j]
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][k]) % 10000;
}
}
} else {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
for (int k = j + 1; k <= n; ++k) {
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][k]) % 10000;
}
}
}
}
int sum = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
sum += dp[m][j];
}
System.out.println(sum);
}
代码二（优化）
思考
看到上面那个代码，三个嵌套的for循环，先不论时间复杂度，这个代码说实在的性能非常堪忧。这不比最初摒弃的那个暴力求解的方法好多少。
为什么呢？求dp[2][1]我们的使用一个for循环累加dp[1][2]到dp[1][4]的值。
如果，这么看不清楚，我们看下面这个图：
若当前项为奇数项：
对于dp[i][j]我们好不容易遍历了一遍dp[i-1][1]到dp[i-1][j-1]的值求出了dp[i][j]但是到了dp[i][j+1]，我们又要进行一次遍历。看下面这幅图就可以知道，对于dp[i][j+1]，其实就多了dp[i-1][j]，我们求dp[i][j+1]只需要dp[i][j] + dp[i-1][j]即可。
因此对于奇数项，我们便得到了这个公式：
对于偶数项：我们可以看到dp[i][j+1]只是比dp[i][j]少了一个dp[i-1][j+1]。
对于偶数项，又得到这个的递推公式：
得到了这两个递推公式，在动态规划里面通常也叫状态转移方程，为什么要叫状态转移方程呢？状态方程通常是值如何通过前一项或者是后一项得到当前项，也就是如何由一个状态变为另一个状态。只有这样，我们才能一环扣一环地递推下去，得到最终结果。到了这一步：我才能真正好意思说我这个是动态规划了，看起来就没代码一那么糟糕了。
然后这里有个小技巧，对于奇数项，我们顺着递推就行，因为当前项是由上一项决定的。for循环从前往后遍历。
对于偶数项，当前项是由下一项决定的，for循环从后往前遍历。
代码
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
int m = input.nextInt();
int n = input.nextInt();
if (m == 1) {
System.out.println(n);
return;
}
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 第一项为奇数项
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
if (j == 1) {
dp[1][j] = 0;
} else {
dp[1][j] = dp[1][j - 1] + 1;
}
}
for (int i = 2; i <= m; ++i) {
//奇数
if ((i % 2) == 1) {
for (int j = 2; j <= n; ++j) {
dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1]) % 10000;
}
} else {
for (int j = n - 1; j >= 1; --j) {
dp[i][j] = (dp[i][j + 1] + dp[i - 1][j + 1]) % 10000;
}
}
}
// 对比看下面的图，就知道为什么这里要判断m是奇数，还是偶数了
int ans = ((m % 2) == 1) ? dp[m][n] : dp[m][1];
System.out.println(ans);
}
注意点
代码可能不好理解，请继续往下看
还有一些需要注意的点。对于偶数项而言，当处于最后一列，也就是dp[i][n]（这里的i为偶数），此时表示当前项为最大值n，不可能比前一项小，因此当前项为n的时候，所能组成的合法的序列数为0。而数组初始化的时候全部都为0，我们就不用刻意令其为0。
对于奇数项而言，当处于第1列，也就是处于dp[i][1]的位置时（这里的i为奇数），此时表示当前项为1，也就是最小值，不可能大于前一项，因此当该项取值为1的时候，不可能有合法的序列，因此为0。
而第一行的初始化则变为了：0，1，2，3.这可能不好理解。
为什么是0，1，2，3呢。dp[1][1]为0还好理解，因为第一项为1，除非序列长度为1，不然肯定是不合法的。dp[1][2]表示第一项的取值只有为2这么一种情况，而dp[1][3]则表示第一项取值小于等于三有两种情况，取值为2，取值为3。因此我们可以发现dp[i][j]的值发生了一点潜移默化的改变。
对于奇数项：dp[i][j]表示对于第i项，当前项的值小于等于j所能组成的合法序列的数量的总和。
对于偶数项：dp[i][j]表示对于第i项，当前项的值大于等于j所能组成的合法序列的数量的总和。
这不好理解，我们继续看图：
以m=3，n=4为例，我们看一下dp数组的变化，主要也在于我们对于偶数项遍历的方向进行了改变。
总结
什么是动态规划呢？
动态规划并不是高瞻远瞩，而是将目光放小，聚焦于当前项，前一项或者是后一项。要求出问题的最终答案，并不是一上来就开始解决，而是先将其分解为一个个子问题，通过解决一个一个地子问题，最终就解决了一个大问题。比如，你说你要考上清华，你整天都在那里想我要上清华，我要上清华，这是不行的。对于高中生而言，考上清华需要你不偏科，语数外，物化生，你都要好好学。把学习成绩搞上去，把基础打牢。然后呢，考试的时候要细心，要沉着冷静。还有呢，你的身体得养好，该补的营养补上，该锻炼要锻炼，身体扎实，学习才有劲头。你只有把这一个一个的子问题解决掉，最终才能考上清华，解决这个大问题。
动态规划的题目也是：不要一上来就聚焦于全局，而是想一下，我该怎么从第一步开始往下走，一步一步走下去，最终走到终点。而这就是寻找状态转移方程的过程。我只要能知道如何由下一步走到当前这一步，或者是如何由上一步走到当前这一步，一环扣一环地走下去，一定能到达终点。
结束语
到此，这个题便结束了，不知不觉洋洋洒洒写了这么多，最初只是想记录一下自己做题的想法。真正写下来却发现字数还真不少。而对于动态规划，其实还有很多可以说的，我也争取多总结一些动态规划的题目出来，这对于提升自己的编程能力，算法功底，甚至是对于面试都会有不小的帮助。下期再见。
转载：https://blog.csdn.net/qq_42799615/article/details/105859325