—————  第二天  —————

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让我们先来回顾一下插入排序：

插入排序顾名思义，就是在排序的过程中，把数组的每一个元素按照大小关系，插入到前面有序区的对应位置。

比如下面数组中的元素3，按照大小关系，需要插入到前面有序区三个元素之前，而前面三个元素则相应向后挪动：

以此类推，插入排序一共会进行（数组长度-1）轮，每一轮的结果如下：

插入排序的平均时间复杂度是O（n^2）。这个排序算法并不复杂，但显然并不是一个高效的排序算法。

那么，怎样可以对插入排序算法做出优化呢？我们不妨从插入排序的两个特点入手：

1.在大多数元素已经有序的情况下，插入排序的工作量较小

这个结论很明显，如果一个数组大部分元素都有序，那么数组中的元素自然不需要频繁地进行比较和交换。

2.在元素数量较少的情况下，插入排序的工作量较小

这个结论更加显而易见，插入排序的工作量和n的平方成正比，如果n比较小，那么排序的工作量自然要小得多。

如何对原始数组进行预处理呢？聪明的科学家想到了一种分组排序的方法，以此对数组进行一定的“粗略调整”。

所谓分组，就是让元素两两一组，同组两个元素之间的跨度，都是数组总长度的一半，也就是跨度为4。

如图所示，元素5和元素9一组，元素8和元素2一组，元素6和元素1一组，元素3和元素7一组，一共4组。

接下来，我们让每组元素进行独立排序，排序方式用直接插入排序即可。由于每一组的元素数量很少，只有两个，所以插入排序的工作量很少。每组排序完成后的数组如下：

这样一来，仅仅经过几次简单的交换，数组整体的有序程度得到了显著提高，使得后续再进行直接插入排序的工作量大大减少。这种做法，可以理解为对原始数组的“粗略调整”。

但是这样还不算完，我们可以进一步缩小分组跨度，重复上述工作。把跨度缩小为原先的一半，也就是跨度为2，重新对元素进行分组：

如图所示，元素5，1，9，6一组，元素2，3，8，7一组，一共两组。

接下来，我们继续让每组元素进行独立排序，排序方式用直接插入排序即可。每组排序完成后的数组如下：

此时，数组的有序程度进一步提高，为后续将要进行的排序铺平了道路。

最后，我们把分组跨度进一步减小，让跨度为1，也就等同于做直接插入排序。经过之前的一系列粗略调整，直接插入排序的工作量减少了很多，排序结果如下：

让我们重新梳理一下分组排序的整个过程：

像这样逐步分组进行粗调，再进行直接插入排序的思想，就是希尔排序，根据该算法的发明者，计算机科学家Donald Shell的名字所命名。

上面示例中所使用的分组跨度（4，2，1），被称为希尔排序的增量，增量的选择可以有很多种，我们在示例中所用的逐步折半的增量方法，是Donald Shell在发明希尔排序时提出的一种朴素方法，被称为希尔增量。

看看上面这个数组，如果我们照搬之前的分组思路，无论是以4为增量，还是以2为增量，每组内部的元素都没有任何交换。一直到我们把增量缩减为1，数组才会按照直接插入排序的方式进行调整。

对于这样的数组，希尔排序不但没有减少直接插入排序的工作量，反而白白增加了分组操作的成本。

如何为希尔排序选择更有效的增量方式呢？

为了保证分组粗调没有盲区，每一轮的增量需要彼此“互质”，也就是没有除1之外的公约数。

于是，人们相继提出了很多种增量方式，其中最具代表性的是Hibbard增量和Sedgewick增量。

Hibbard的增量序列如下：

1，3，7，15......

通项公式 2^k-1

利用此种增量方式的希尔排序，最坏时间复杂度是O（n^(3/2)）

Sedgewick的增量序列如下：

1, 5, 19, 41, 109......

通项公式 9*4^k - 9*2^k + 1 或者 4^k - 3*2^k + 1

利用此种增量方式的希尔排序，最坏时间复杂度是O（n^(4/3)）

关于这两种增量方式的时间复杂度，有些需要很复杂的数学证明，有些是人们的大致猜想，大家暂时不用纠结。

上面数组当中，有两个元素5，绿色的5在前，橙色的5在后。

假如我们按照希尔增量分组，第一轮粗调（增量为4）之后，绿色的元素5会跟元素4交换，换到橙色的5后面：

第二轮粗调（增量为2）之后：

最终排序结果：

相同的元素5，在排序之后改变了次序，由此可见希尔排序是一个不稳定排序。

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