视觉SLAM笔记（8） 齐次坐标

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1. 线性关系

视觉SLAM笔记（6） 欧氏变换 中
完整地表达了欧氏空间的旋转与平移

不过还存在一个小问题：这里的变换关系不是一个线性关系

假设进行了两次变换： R₁，t₁ 和 R₂，t₂，满足：

但是从 a 到 c 的变换为：

这样的形式在变换多次之后会过于复杂

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2. 齐次坐标和变换矩阵

因此，要引入齐次坐标和变换矩阵重写式：

这是一个数学技巧：把一个三维向量的末尾添加 1，变成了四维向量，称为齐次坐标

对于这个四维向量，可以把旋转和平移写在一个矩阵里面，使得整个关系变成了线性关系
该式中，矩阵 T 称为 变换矩阵（Transform Matrix）
暂时用 $\tilde{a}$ 表示 a 的齐次坐标

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2.1. 齐次坐标

稍微来说一下齐次坐标，它是 射影几何 里的概念
通过添加最后一维，用四个实数描述了一个三维向量
这显然多了一个自由度，但允许把变换写成线性的形式

在齐次坐标中，某个点 x 的每个分量同乘一个非零常数 k 后， 仍然表示的是同一个点
因此，一个点的具体坐标值不是唯一的
如 [1，1，1，1]^T 和 [2，2，2，2]^T 是同一个点
但当最后一项不为零时，总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为 1
从而得到一个点唯一的坐标表示（也就是转换成非齐次坐标）：

这时，忽略掉最后一项，这个点的坐标和欧氏空间就是一样的
依靠齐次坐标和变换矩阵，两次变换的累加就可以有很好的形式：

但是区分齐次和非齐次坐标的符号挺厌烦的
在不引起歧义的情况下，以后就直接把它写成 b = T a 的样子
默认其中是齐次坐标了

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2.2. 变换矩阵

关于变换矩阵 T，它具有比较特别的结构：
左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为 0 向量，右下角为 1

这种矩阵又称为 特殊欧氏群（Special Euclidean Group）：

与 SO(3) 一样，求解该矩阵的逆表示一个反向的变换：

最后，为了保持符号的简洁，在不引起歧义的情况下，
以后不区别齐次坐标与普通的坐标的符号， 默认使用的是符合运算法则的那一种

例如，当写 $Ta$ 时，使用的是齐次坐标（不然没法计算）
而写 $Ra$ 时，使用的是非齐次坐标

如果写在一个等式中，就假设齐次坐标到普通坐标的转换，是已经做好了的
因为齐次坐标和非齐次坐标之间的转换事实上非常容易

回顾一下介绍的内容：

1. 视觉SLAM笔记（6） 坐标系 说了向量和它的坐标表示，并介绍了向量间的运算

2. 视觉SLAM笔记（7） 欧氏变换 说了坐标系之间的运动由欧氏变换描述，它由平移和旋转组成
   旋转可以由旋转矩阵 $SO$(3) 描述，而平移直接由一个 $R$³ 向量描述

3. 如果将平移和旋转放在一个矩阵中，就形成了变换矩阵 $SE$(3)

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参考：

《视觉SLAM十四讲》

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相关推荐：

视觉SLAM笔记（7） 欧氏变换
视觉SLAM笔记（6） 坐标系
视觉SLAM笔记（5） 编程基础
视觉SLAM笔记（4） SLAM的数学表述
视觉SLAM笔记（3） 视觉SLAM框架

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转载：https://blog.csdn.net/qq_32618327/article/details/101020851