【高数】一元函数积分学

知识点

不定积分与定积分的概念、性质、理论

定义

• 原函数与不定积分。[《全书》P77]
• 定积分。[《全书》P77]

重要性质、定理、公式

• 定积分存在定理。[《全书》P78]
• 原函数存在定理。[《全书》P78]
• 变上限函数对上限变量求导。[《全书》P78]
• 牛顿——莱布尼兹公式。[《全书》P78]
• 不定积分的性质。[《全书》P78]
• 定积分的性质。[《全书》P79]

不定积分与定积分的计算

基本积分公式

略[《全书》P86]

基本积分方法

略[《全书》P86]

反常积分及其计算与判敛

定义

• 无穷区间上的反常积分。[《全书》P99]
• 无界函数的反常积分。[《全书》P99]

重要性质、定理、公式

• 两类反常积分的识别。[《全书》P100]
• 对称区间上奇、偶函数的反常积分。[《全书》P100]
• 一个重要的反常积分。[《全书》P100]

定积分的应用

基本方法

略

重要几何公式与物理应用

全书例题分析

分段函数的不定积分与定积分

被积函数为绝对值所表示：

1. 将它写成分段表达式，可知它是连续的；
2. 将此分段函数按分段求其原函数，并使在分界点处接成连续，这样得到的原函数在分界点处不但连续，而且是可导的。再加C便可得分段函数。

定积分与原函数的存在性

略

奇、偶函数，周期函数的原函数及变限积分

略

简单有理分式的积分

分布不能因式分解的二次式，分子为一次式。

三角函数的有理分式的积分

“万能代换”可解决此类问题，但是计算复杂。
对于这类题，一般采用下列办法处理：

1. 化成同角。
2. 尽量约分。
3. 分母化成单项式。
4. 利用三角公式化简。

简单无理式的积分

• 含有(ax+b)ⁿ，(ax+b)^m的简单分式的积分，一般命(ax+b)^k = t，k为n，m的最小公倍数。
• 定积分化简根式时要保留绝对值符号，在由变量的变化范围，确定如何去掉绝对值号。

两种不同类型的函数相乘的积分

略

被积函数中含有导数或变限积分

略

对称区间上的定积分，周期函数的定积分

对称区间上的定积分，常将它拆成两项之和，然后并项处理。

含参变量带绝对值号的定积分

积分计算杂例

反常积分的计算与通过计算获知反常积分的敛散性

反常积分收敛、发散的判别

转载：https://blog.csdn.net/a617976080/article/details/102207930