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矩阵论基础——建立基本概念

2020-04-01 15:16 313人阅读  评论(0)

矩阵论基础——建立基本概念

1. 线性空间

概念

非空集合V，数域F，对加法和数乘封闭，即 ∀ α ,   β ∈ V \forall \alpha,\ \beta \in V ，有 α + β ∈ V \alpha+\beta \in V ； ∀ k ∈ F ， α ∈ V \forall k \in F，\alpha \in V ，有 k α ∈ V k\alpha \in V ，并且满足下面八条运算法则：
1. 加法交换律： α + β = β + α \alpha + \beta = \beta + \alpha
2. 加法结合律： ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)
3. V中存在零元： ∃ α 0 ∈ V ,   ∀ α ∈ V ,   α + α 0 = α ,   记 α 0 = 0 \exist \alpha_0 \in V,\ \forall \alpha \in V,\ \alpha + \alpha_0 = \alpha,\ 记\alpha_0 = 0
4. V中存在负元： ∀ α ∈ V ,   ∃ β ∈ V ,   使 α + β = 0 ,   记 β = − α \forall \alpha \in V,\ \exist \beta \in V,\ 使\alpha + \beta = 0,\ 记\beta = -\alpha
5. ∃ 1 ∈ F \exist 1 \in F ： 1 ⋅ α = α 1 \cdot \alpha = \alpha
6. 数乘结合律： ( k l ) α = k ( l α ) (kl) \alpha = k(l \alpha)
7. 分配律： k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha + \beta) = k \alpha + k \beta
8. 分配率： ( k + l ) α = k α + l α (k + l) \alpha = k \alpha + l \alpha
此时V是数域F上的线性空间。V中元素称为向量。F为实(复)数域时，称V为实(复)线性空间。

性质

  1. V中零元素唯一
  2. V中任一元素的负元素唯一
  3. 设0为数0， 0 ⃗ \vec{0} 为V中零向量，则
    (a) 0 ⃗ ⋅ α = 0 \vec{0} \cdot \alpha = 0
    (b) k ⋅ 0 ⃗ = 0 ,   k ∈ F k \cdot \vec{0} = 0,\ k \in F
    (c) 若 k ⋅ α = 0 k \cdot \alpha = 0 ，则一定有 k = 0 k=0 或者 α = 0 ⃗ \alpha = \vec{0}
    (d) ( − 1 ) α = − α (-1) \alpha = - \alpha

2. 基与维数

概念

基： 线性空间V中，若存在一组线性无关的向量 α 1 ,   α 2 ,   . . . ,   α n \alpha_1,\ \alpha_2,\ ...,\ \alpha_n ，使得V中任一向量都可以由它们表示，则称向量组 { α 1 ,   α 2 ,   . . . ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ ...,\ \alpha_n\} 是V的一组基。
维数： 基中所含向量个数，记为 d i m V = n dimV = n
基就是向量集合V中的极大线性无关组，因此线性空间的基不唯一
标准正交基： 内积空间 [ V n ( F ) ;   ( α ,   β ) ] [V_n(F);\ (\alpha,\ \beta)] 中，基 { ϵ 1 ,   ϵ 2 ,   ⋯   ,   ϵ m } \{\epsilon_1,\ \epsilon_2,\ \cdots,\ \epsilon_m\} 满足
( ϵ i ,   ϵ j ) = { 1 i = j 0 i ≠ j (\epsilon_i,\ \epsilon_j) = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

性质

若 { E i j ,   i = 1 ,   2 ,   . . . ,   m ;   j = 1 ,   2 ,   . . . ,   n } \{E_{ij},\ i=1,\ 2,\ ...,\ m;\ j=1,\ 2,\ ...,\ n \} 是矩阵空间 R m ∗ n R^{m*n} 的一组基，则
d i m   R m ∗ n = m ∗ n dim\ R^{m*n} = m * n

3. 坐标

概念

设 α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n 是线性空间 V n ( F ) V_n(F) 的一组基， ∀ β ∈ V \forall \beta \in V ，有
β = ∑ i = 1 n x i α i = ( α 1    α 2    ⋯    α n ) [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \beta = \sum^n_{i = 1}x_i \alpha_i=(\alpha_1\ \ \alpha_2\ \ \cdots \ \ \alpha_n) \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]
则称数 x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x n x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n 是 β \beta 在基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n\} 下的坐标，向量 { x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x n } T \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n\}^T 为 β \beta 的坐标，简称坐标。

例题

4. 同构

概念

若线性空间 V n ( F ) V_n(F) 和 F n F^n 存在一一对应关系 σ \sigma ，若 σ \sigma 满足
σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta)

σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k \alpha) = k \sigma(\alpha)
则数域F上任何一个n维线性空间 V n ( F ) V_n(F) 都和n维线性空间 F n F^n 同构

性质

设 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n\} 是n维线性空间 V n ( F ) V_n(F) 的一组基， V n ( F ) V_n(F) 中向量 β i \beta_i 在该基下的坐标为 X i ,   i = 1 ,   2 ,    ⋯   ,   m X_i,\ i=1,\ 2,\ \ \cdots,\ m ，则 V n ( F ) V_n(F) 中向量组 { β 1 ,   β 2 ,   ⋯   ,   β n } \{\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_n\} 线性相关的充要条件是其坐标向量组 { X 1 ,   X 2 ,   ⋯   ,   X m } \{X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_m\} 是 F n F^n 中的线性相关组。

例题

5. 过渡矩阵（基变换矩阵）

概念

设 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n\} ， { β 1 ,   β 2 ,   ⋯   ,   β n } \{\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_n\} 是n维线性空间 V n ( F ) V_n(F) 的两组基，若有矩阵 C ∈ F n ∗ n C \in F^{n * n} ，使
( β 1 β 2 ⋯ β n ) = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) C (\beta_1 \quad \beta_2 \quad \cdots \quad \beta_n) = (\alpha_1 \quad \alpha_2 \quad \cdots \quad \alpha_n)C 则称C是从基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n\} 到基 { β 1 ,   β 2 ,   ⋯   ,   β n } \{\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_n\} 的过渡矩阵（基变换矩阵）。

性质

设向量 α ∈ V n ( F ) \alpha \in V_n(F) ， α \alpha 在两组基下的坐标分别为X和Y，则有
α = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) X \alpha = (\alpha_1 \quad \alpha_2 \quad \cdots \quad \alpha_n)X

α = ( β 1 β 2 ⋯ β n ) Y \alpha = (\beta_1 \quad \beta_2 \quad \cdots \quad \beta_n)Y

因此 α = ( β 1 β 2 ⋯ β n ) Y = ( α 1 α 2 ⋯ α n ) C Y \alpha = (\beta_1 \quad \beta_2 \quad \cdots \quad \beta_n)Y = (\alpha_1 \quad \alpha_2 \quad \cdots \quad \alpha_n)CY ，有 X = C Y X=CY

例题

例题一

例题二

6. 子空间

子空间数学表示：
∃ W ⊂ V 且 W ≠ ∅ \exist W \subset V且W \neq \emptyset ，同时满足
∀ α ,   β ∈ W ， 有 α + β ∈ W \forall \alpha,\ \beta \in W，有\alpha+\beta \in W

∀ k ∈ F ， α ∈ W ， 有 k α ∈ W \forall k \in F，\alpha \in W，有k\alpha \in W
则称W是V的子空间。
任何线性空间都有两个平凡子空间：一个是它自身 V ⊂ V V \subset V ，另一个是 W = { 0 } W=\{0\} (零元素空间)

6.1 生成子空间

设 V n ( F ) V_n(F) 是线性空间， α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α m \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m 是V中一组向量，则由它们一切线性组合构成的集合： L { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α m } = { α ∣ α = ∑ i = 1 m k i α i ,   k i ∈ F } L\{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m\} = \{\alpha | \alpha = \sum^{m}_{i=1}k_i \alpha_i,\ k_i \in F\} 是V的一个子空间，称为由 α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α m \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m 生成的子空间。
L和span等价

6.2 直和(补)子空间

概念

直和子空间： W = W 1 ⨁ W 2 W = W_1 \bigoplus W_2
需要同时满足
W = W 1 + W 2 W = W_1 + W_2
W 1 ∩ W 2 = { 0 } W_1 \cap W_2 = \{0\}
W 1 W_1 和 W 2 W_2 是V的子空间

直和补子空间： V = W ⨁ U V = W \bigoplus U ，此时称U是W的直和补子空间
对n维空间V中任何子空间W，设 α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α r \alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_r 为W的基，r<n，把它们扩充到V的基
{ α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α r ,   β r + 1 ,   ⋯   ,   β n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_r,\ \beta_{r+1},\ \cdots,\ \beta_n\}

设 U = L { β r + 1 ,   ⋯   ,   β n } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad U=L\{\beta_{r+1},\ \cdots,\ \beta_n\}
则成立 V = W ⨁ U V = W \bigoplus U ，此时称U是W的直和补子空间。

性质

W 1 W_1 和 W 2 W_2 是V的子空间， W = W 1 + W 2 W = W_1 + W_2 ，则以下条件等价：

  1. W = W 1 ⨁ W 2 W = W_1 \bigoplus W_2
  2. ∀ X ∈ W ， X 表 示 式 唯 一 ： X = X 1 + X 2 ， 其 中 X 1 ∈ W 1 ， X 2 ∈ W 2 \forall X \in W，X表示式唯一：X = X_1 + X_2，其中X_1 \in W_1，X_2 \in W_2
  3. W中零向量表达式唯一，即只要 0 = X 1 + X 2 ， X 1 ∈ W 1 ， X 2 ∈ W 2 0 = X_1 + X_2，X_1 \in W_1，X_2 \in W_2 ，就有 X 1 = 0 ， X 2 = 0 X_1 = 0，X_2 = 0
  4. d i m W = d i m W 1 + d i m W 2 dimW = dimW_1 + dimW_2

6.3 正交(补)子空间

正交子空间： U ⊥ = { α ∣ α ∈ V ,   ∀ β ∈ U ,   ( α ,   β ) = 0 } U^\perp = \{\alpha | \alpha \in V,\ \forall \beta \in U,\ (\alpha,\ \beta) = 0\}
正交补子空间： V n = U + U ⊥ V_n = U + U^ \perp ， U ⊥ U^ \perp 是 U U 的正交补子空间

6.4 不变子空间

线性变换T，W是子空间，若 ∀ α ∈ W ,   有 T ( α ) ∈ W \forall \alpha \in W,\ 有T(\alpha) \in W ，即值域 T ( W ) ⊂ W T(W) \subset W ，则称W是T的不变子空间

6.5 零空间与列空间

零空间N(A)： N ( A ) = { X ∣ A X = 0 } ⊂ F n N(A) = \{X | AX = 0\} \subset F^n
列空间R(A)： R ( A ) = L { A 1 ,   A 2 ,   ⋯   ,   A n } ⊂ F n R(A) = L\{A_1,\ A_2,\ \cdots,\ A_n\} \subset F^n
当T是线性空间 V n ( F ) V_n(F) 上的线性变换，则：
像空间： R ( T ) = { β ∣ ∃ α ∈ V n ( F ) ,   β = T ( α ) } R(T) = \{\beta | \exist \alpha \in V_n(F),\ \beta = T(\alpha) \} 是 V n ( F ) V_n(F) 的子空间，称为T的像空间
零空间： N ( T ) = { α ∣ T ( α ) = 0 } N(T) = \{\alpha | T(\alpha) = 0 \} 是 V n ( F ) V_n(F) 的子空间，称为T的零空间

6.6 交空间与和空间

概念

交空间： W 1 ∩ W 2 = { α ∣ α ∈ W 1 且 α ∈ W 2 } W_1 \cap W_2 = \{\alpha | \alpha \in W_1且\alpha \in W_2\}
和空间： W 1 + W 2 = { α ∣ α = α 1 + α 2 ,   α 1 ∈ W 1 ,   α 2 ∈ W 2 } W_1 + W_2 = \{\alpha | \alpha = \alpha_1 + \alpha_2,\ \alpha_1 \in W_1,\ \alpha_2 \in W_2\}

性质

d i m W 1 + d i m W 2 = d i m ( W 1 + W 2 ) + d i m ( W 1 ∩ W 2 ) dimW_1 + dimW_2 = dim(W_1 + W_2) + dim(W_1 \cap W_2) 其中 W 1 W_1 和 W 2 W_2 是线性空间V的子空间

7. 欧氏空间和酉空间

V n ( F ) → F : V n ( F ) → F V_n(F) \rightarrow F: V_n(F) \rightarrow F 同时满足
a. 对称性： ( α ,   β ) = ( β ,   α ‾ ) (\alpha,\ \beta) = (\overline{\beta,\ \alpha}) ， ( β ,   α ‾ ) (\overline{\beta,\ \alpha}) 表示 ( β ,   α ) (\beta,\ \alpha) 的共轭
b. 线性性： ( k α ,   β ) = k ( α ,   β ) (k \alpha,\ \beta) = k(\alpha,\ \beta)
( α 1 + α 2 ,   β ) = ( α 1 ,   β ) + ( α 2 ,   β ) \qquad \qquad (\alpha_1 + \alpha_2,\ \beta) = (\alpha_1,\ \beta) + (\alpha_2,\ \beta)
c. 正定性： ( α ,   α ) ≥ 0 ,   ( α ,   α ) = 0 (\alpha,\ \alpha) \geq 0,\ (\alpha,\ \alpha)=0 的充要条件是 α = 0 \alpha = 0
则称 ( α ,   β ) (\alpha,\ \beta) 是 V n ( F ) V_n(F) 的一个内积， [ V n ( F ) ;   ( α ,   β ) ] [V_n(F);\ (\alpha,\ \beta)] 为内积空间

欧式空间： 实数域R上的内积空间
酉空间： 复数域C上的内积空间
共轭： 实部相同，虚部取相反数
转置共轭矩阵： A H = ( A ‾ ) T A^H = (\overline{A})^T
向量夹角： θ = a r c c o s ( α ,   β ) ∣ ∣ α ∣ ∣   ∣ ∣ β ∣ ∣ \theta = arccos \frac{(\alpha,\ \beta)}{||\alpha|| \ ||\beta||}
向量正交： ( α ,   β ) = 0 (\alpha,\ \beta) = 0
标准正交向量组： 向量组 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α m } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_m\} 满足
( α i ,   α j ) = { 1 i = j 0 i ≠ j (\alpha_i,\ \alpha_j) = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}
Gram-Schmidt正交化(求正交向量组)：
β 1 = α 1 \beta_1 = \alpha_1

β k = α k − ∑ i = 1 k − 1 α k ,   β i ) ( β i ,   β i ) β i , k = 2 ,   3 ,   ⋯   ,   m \beta_k = \alpha_k - \sum^{k - 1}_{i = 1} \frac{\alpha_k,\ \beta_i)}{(\beta_i,\ \beta_i)} \beta_i,\quad k = 2,\ 3,\ \cdots,\ m

其中由 α i {\alpha_i} 组成的向量组为线性无关向量组，由 β k \beta_k 组成的向量组就是正交向量组

8. 欧几里得范数

概念

向量的长度也叫做向量的欧几里得范数，即
∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α ,   α ) ||\alpha|| = \sqrt{(\alpha,\ \alpha)}
单位向量： ∣ ∣ α ∣ ∣ = 1 ||\alpha|| = 1

性质

∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ ∣ k ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k \alpha|| = ||k|| \cdot ||\alpha||

∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta||

∀ α ≠ 0 ,   α 0 = α ∣ ∣ α ∣ ∣ ,   ∣ ∣ α 0 ∣ ∣ = 1 ,   取 α 0 = α ∣ ∣ α ∣ ∣ 的 过 程 称 为 标 准 化 \forall \alpha \neq 0,\ \alpha^0 = \frac{\alpha}{||\alpha||},\ ||\alpha^0|| = 1,\ 取\alpha^0 = \frac{\alpha}{||\alpha||}的过程称为标准化

9. 柯西不等式

α 和 β 线 性 相 关 \alpha和\beta线性相关

   ⟺    \iff

[ V n ( F ) ;   ( α ,   β ) ] 为 内 积 空 间 ， ∀ α ,   β ∈ V n ( F ) ， 有 ∣ ( α ,   β ) ∣ 2 ≤ ( α ,   α ) ( β ,   β ) [V_n(F);\ (\alpha,\ \beta)]为内积空间，\forall \alpha, \ \beta \in V_n(F)，有|(\alpha,\ \beta)|^2 \leq (\alpha,\ \alpha) (\beta,\ \beta)

例题

C n ,   ( α ,   β ) = β H α ⇒ ∣ ∑ i = 1 N x i y i ‾ ∣ 2 ≤ ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 2 ⋅ ∑ i = 1 n ∣ y i ∣ 2 C^n,\ (\alpha,\ \beta) = \beta^H \alpha \Rightarrow |\sum^{N}_{i = 1} x_i \overline{y_i}|^2 \leq \sum^{n}_{i=1} |x_i|^2 \cdot \sum^{n}_{i=1} |y_i|^2

C n ∗ n ,   ( A ,   B ) = t r ( B H A ) ⇒ ∣ t r ( B H A ) 2 ∣ ≤ t r ( A H A ) ⋅ t r ( B H B ) C^{n * n},\ (A,\ B) = tr(B^HA) \Rightarrow |tr(B^H A)^2| \leq tr(A^H A) \cdot tr(B^H B)

柯西不等式可写为 ∣ α ,   β ) ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β ∣ ∣ |\alpha,\ \beta) \leq ||\alpha|| \cdot ||\beta||

10. 线性变换

概念

变换： 线性空间 V n ( F ) V_n(F) 有对应关系T，使 ∀ α ∈ V n ( F ) \forall \alpha \in V_n(F) ，都有确定的向量 α ′ = T ( α ) ∈ V n ( F ) \alpha' = T(\alpha) \in V_n(F)
线性变换： 变换T同时满足
∀ α ,   β ∈ V n ( F ) , T ( α + β ) = T ( α ) + T ( β ) \forall \alpha,\ \beta \in V_n(F), \quad T(\alpha + \beta) = T(\alpha) + T(\beta)

∀ k ∈ F ,   ∀ α ∈ V n ( F ) , T ( k α ) = k T ( α ) \forall k \in F,\ \forall \alpha \in V_n(F), \quad T(k \alpha) = k T(\alpha)

可将上述两式合写为 T ( k 1 α 1 + k 2 α 2 ) = k 1 T ( α 1 ) + k 2 T ( α 2 ) T(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2) = k_1 T(\alpha_1) + k_2 T(\alpha_2)
线性变换与同构：
两者都保持加法和数乘运算不变
但同构要求为一一映射关系，而线性变换不需要满足

零变换： ∀ α ∈ V n ( F ) ,   T ( α ) = 0 \forall \alpha \in V_n(F),\ T(\alpha) = 0
恒等变换： ∀ α ∈ V n ( F ) ,   T ( α ) = α \forall \alpha \in V_n(F),\ T(\alpha) = \alpha
矩阵： T是 V n ( F ) V_n(F) 的线性变换， { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n\} 是基，若 ∃ A ∈ F n ∗ n \exist A \in F^{n * n} ，使 T ( α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n ) = ( α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n ) A T(\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n) = (\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n) A 则称A为T在基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n\} 下的矩阵

性质

T ( 0 ) = 0 T(0) = 0

T ( − α ) = − T ( α ) T(- \alpha) = - T(\alpha)

T ∑ i = 1 r k i α i = ∑ i = 1 r k i T ( α i ) T \sum^r_{i = 1} k_i \alpha_i = \sum^r_{i = 1} k_i T(\alpha_i)

若 { α 1 , α 2 , ⋯   , α s } \{\alpha_1,\quad \alpha_2,\quad \cdots,\quad \alpha_s \} 线性相关，则 { T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯   , T ( α s ) } \{T(\alpha_1),\quad T(\alpha_2),\quad \cdots,\quad T(\alpha_s) \} 也线性相关


T 1 和 T 2 T_1和T_2 是两个线性变换，在基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n\} 下的矩阵分别为 A 1 和 A 2 A_1和A_2 ，则在基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   , α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots, \alpha_n\} 下：

  1. T 1 + T 2 T_1 + T_2 的矩阵为 ( A 1 + A 2 ) (A_1 + A_2)

  2. T 1 T 2 T_1 T_2 的矩阵为 A 1 A 2 A_1 A_2

  3. k T 1 k T_1 的矩阵为 k A 1 k A_1

  4. T 1 T_1 可逆    ⟺    \iff A 1 A_1 可逆。 T 1 − 1 T^{-1}_1 的矩阵为 A 1 − 1 A^{-1}_1

基 { α 1 ,   α 2 ,   ⋯   ,   α n } \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_n\} 到基 { β 1 ,   β 2 ,   ⋯   ,   β n } \{\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_n\} 的过渡矩阵为C，线性变换T在两组基下的矩阵分别A和B，则 B = C − 1 A C B = C^{-1} A C

例题

例题一

例题二

11. 正交(酉)变换

概念

内积空间上的正交变换： ∀ α ,   β ∈ [ V n ( F ) ;   ( α ,   β ) ] \forall \alpha,\ \beta \in [V_n(F);\ (\alpha,\ \beta)] 都有 ( T ( α ) ,   T ( β ) ) = ( α ,   β ) (T(\alpha),\ T(\beta)) = (\alpha,\ \beta)
正交变换： 当内积空间为欧式空间时，变换T为正交变换
酉变换： 当内积空间为酉空间时，变换T为酉变换

性质

T是内积空间上的线性变换，则下列命题等价：

  1. T是正交(酉)变换
  2. T保持向量长度不变
  3. T把空间 V n ( F ) V_n(F) 的标准正交基变换为标准正交基
  4. 正交变换关于任一标准正交基的矩阵C满足 C T C = C C T = I C^T C = C C^T = I ；酉变换关于任一标准正交基的矩阵U满足 U H U = U U H = I U^H U = U U^H = I

正交矩阵©的行列式为 ± 1 \pm1 ；酉矩阵(U)的行列式模长为1
C − 1 = C T ;   U − 1 = U H C^{-1} = C^T;\ U^{-1} = U^H
正交(酉)矩阵的逆矩阵与乘积仍然是正交(酉)矩阵
n阶正交(酉)矩阵的列和行向量组是欧氏(酉)空间 R n ( C n ) R^n(C^n) 中的标准正交基

例题

例题一

本博客中所有内容均来自《矩阵论》第二版 华科，加入了一些自己的理解和简化，如有侵权，请联系删除


转载：https://blog.csdn.net/u011609063/article/details/102314988
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