牛顿二项式定理学习(广义二项式定理)

牛顿二项式定理

二项式定理

对于一个这样的式子: $(x+y)^n$

展开式如下:

$(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{(^n_i)x^{n-i}y^{i}}$

其中 $(^n_i)=\frac{n(n-1)...(n-i+1)}{i!}$

牛顿二项式定理

牛顿二项式定理是对二项式定理的扩展,通过牛顿二项式定理可以得到 $(x+y)^\alpha$

的展开式，其中 $\alpha$是任意实数。

设 $\alpha$为任意实数, $x,y$满足 $0 \leq |x| < |y|$,有

$(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^n_k)x^{\alpha}y^{\alpha-k}}$

设 $z=x/y,|z| < 1$,那么 $(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}$,那么等价于求

$(1+z)^{\alpha}$即可。

$(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{\alpha}_k)z^{k}}$

设 $n$为正整数，我们用 $-n$代替 $\alpha$,有

$(^{a}_{k})=(^{-n}_{k})=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k!}=(-1)^k(^{n+k-1}_{k})$

因此，对于 $|z|<1$有:

$(1+z)^{-n}=\frac{1}{(1+z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k(^{n+k-1}_k)z^{k}}$

用 $-z$代替 $z$得:
$(1-z)^{-n}=\frac{1}{(1-z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{(^{n+k-1}_k)z^{k}}$

若 $n=1$得:

$(1+z)^{-1}=\frac{1}{(1+z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^kz^{k}}$

$(1-z)^{-1}=\frac{1}{(1-z)}=\sum_{k=0}^{\infty}{z^{k}}$

利用这个式子我们就可以求任意精度的开根操作了。

例如求 $\sqrt{20}$

$\sqrt{20}=\sqrt{4+16}=(4+16)^{\frac{1}{2}}=4(1+0.25)^{\frac{1}{2}}$

然后展开即可。

求 $\sqrt{20}$的程序

/*******************************
Author:galaxy yr
LANG:C++
Created Time:2019年10月04日 星期五 16时15分42秒
*******************************/
#include<iostream>

const int maxn=3005;
long double x,c[maxn][maxn];

long double C(double a,double k)
{
    long double res=1;
    for(double i=a;i>=a-k+1;i--) res*=i;
    for(double i=1;i<=k;i++)
        res/=i;
    return res;
}

long double solve()
{
    long double x=1.25,a=0.5,z=x-1;
    if(z<0)z=-z;
    long double s=1,ans=0;
    for(int k=0;k<=170;k++)
    {
        ans+=C(a,k)*s;
        s*=z;
    }
    return 4*ans;
}

int main()
{
    std::cout<<solve()<<std::endl;
    return 0;
}

转载：https://blog.csdn.net/Galaxy_yr/article/details/102080510