过程系统优化习题2

过程系统优化习题2

问题描述

现有三级串联(冷流体)的换热系统,冷流体进入第一个换热器的温度为100℃,要求流出第三个换热器时的温度达到500℃。热流体流入第一、二、三换热器的温度依次为300℃、400℃、600℃。冷、热流体的热容流率均为10000W/℃。换热器的传热系数依次为120、80、40W/m²℃。求这三个换热器总面积最小时的面积分配及各级流体温度，写出优化数学模型，并求解和分析。

分析

该题目中要求给串联的三个换热器分配换热面积以完成换热要求；该题目中给定了冷热流的热容流率 $C_{pH}$和 $C_{pC}$，且二者相等，故冷热流的出入口温差相等；由化工知识可知，逆流换热具有比顺流换热更高的效率，因此在换热量一定的条件下需要更少的面积，因此这里仅针对于逆流换热建模。
建立模型如上图所示：给定三个换热器，逆流换热。换热器具有7个参数，分别为冷流体入口温度 $T_{c1}$、冷流体出口温度 $T_{c2}$、热流体入口温度 $T_{h1}$、热流体出口温度 $T_{h2}$、传热温差 $dT$、传热系数 $K$和换热面积 $S$。各物理量的单位为SI单位制。
由于逆流换热，冷热流体热容流率相等，故传热温差 $dT$为入口或出口的冷热流温差，即 $dT=T_{h1}-T_{c2}$。
流体热量的损失或获得的功率等于 $|T_2-T_1|*C_p$。
换热器的换热功率等于 $K*dT*S$。

优化目标

MIN = $\sum^{3}_{i=1} S_i$

约束条件

串联条件：下一个换热器的冷流入口温度为上一个换热器的冷流出口温度。
热量平衡条件：冷流获得的热量、热流丧失的热量及换热器的换热量(功率)相等。
非负传热温差：在该题条件下，为要求 $dT>0$成立。

解答

使用 Lingo 16.0 建模求解。

Model:
sets:
HExch/1,2,3/:TH1,TH2,TC1,TC2,dT,S,K;
!HExcha stands for HeatExchanger, K is the heat transfer coefficient, CounterCurrent;
endsets
data:
CpH = 10000;
CpC = 10000;
TH1 = 300,400,600;
K = 120,80,40;
enddata
MIN = @sum(HExch:S);
TC1(1) = 100;
TC2(3) = 500;
!CounterCurrent;
!@for(HExch(i):TC1(i)<TC2(i));
!@for(HExch(i):TC2(i)<TH1(i));
!@for(HExch(i):TC1(i)<TH2(i));
!@for(HExch(i):TH2(i)<TH1(i));
!Series Connection;
@for(HExch(i)|i#GT#1:TC1(i) = TC2(i-1));
!Energy Equilibrium;
@for(HExch(i):(TC2(i)-TC1(i))*CpC=(TH1(i)-TH2(i))*CpH);
@for(HExch(i):dT(i)=TH1(i)-TC2(i));
@for(HExch(i):dT(i)*K(i)*S(i)=(TH1(i)-TH2(i))*CpH);
init:
!TC1 = 100,200,300;
!TC2 = 200,300,500;
endinit
end

输出如下：

Local optimal solution found.
  Objective value:                              704.9249
  Infeasibilities:                              0.000000
  Total solver iterations:                            12
  Elapsed runtime seconds:                          0.06

各变量取值如下：

				Variable	Value        	Reduced Cost
                                 TH1( 1)        300.0000            0.000000
                                 TH1( 2)        400.0000            0.000000
                                 TH1( 3)        600.0000            0.000000
                                 TH2( 1)        217.9824            0.000000
                                 TH2( 2)        286.4165            0.000000
                                 TH2( 3)        395.6011            0.000000
                                 TC1( 1)        100.0000            0.000000
                                 TC1( 2)        182.0176            0.000000
                                 TC1( 3)        295.6011            0.000000
                                 TC2( 1)        182.0176            0.000000
                                 TC2( 2)        295.6011            0.000000
                                 TC2( 3)        500.0000            0.000000
                                  DT( 1)        117.9824            0.000000
                                  DT( 2)        104.3989            0.000000
                                  DT( 3)        100.0000            0.000000
                                   S( 1)        57.93067            0.000000
                                   S( 2)        135.9971            0.000000
                                   S( 3)        510.9971            0.000000
                                   K( 1)        120.0000            0.000000

换热面积分别为57.94m²、136.00m²、510.00m²，总换热面积需要704.9m²。