博弈问题（实时更新）

0. 参考文章

https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/82940573
https://blog.csdn.net/qq_41552508/article/details/89159952
https://www.zhihu.com/question/27467617

1. 平等博弈

1.1 常见概念及定理

1.1.1 组合游戏

公平组合游戏ICG – Impartial Combinatorial Games
游戏的胜负仅仅取决于当前状态，与谁在玩没有关系。
判定：

1. 2人博弈
2. 当前状态的下一个状态的个数有限
3. 每个状态，两人操作集合相同
4. 交替移动
5. 一个人不能移动就为输
6. 有限步内终止

1.1.2 P状态与N状态

P - 必败态
N - 必胜态

1. 所有终止的状态是P状态
2. 能一步到达P状态的是N状态
3. 每一步都将到达N状态的为P状态

1.1.3 SG函数和SG定理

sg函数值的意义，如果 $sg(x)=0$，那么x是必败态，否则x是必胜态。
定义： $sg(x)=min\{n\geq 0|n=sg(y),y\in F(x)\}$
$F(x)$表示x所有的下一个状态的集合。
定义mex函数为不在一个集合里的最小非负整数。则
$sg(x)=mex\{sg(y)|y\in F(x)\}$

SG定理：
$sg(x_1,x_2,...,x_n)=sg(x_1) \oplus sg(x_2)\oplus ... \oplus sg(x_n)$

求sg函数代码：

const int maxn = 5e4 + 10;

//f[i]代表可行的转移方式 k代表方式总数

int f[maxn], k, sg[maxn];
bool vis[maxn];

void getsg(int n) {
    memset(sg, 0, sizeof sg);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for (int j = 1; f[j] <= i && j <= k; ++j) {
            vis[sg[i - f[j]]] = 1;
        }
        for (int j = 0;; ++j)
            if (!vis[j]) {
                sg[i] = j;
                break;
            }
    }
}

1.2 常见模型

1.2.1 巴什博弈

一堆n个物品，每人每次轮流从中取出 $1 - m$个，最后取光者胜。
结论：如果 $n \% (m+1)==0$那么后手胜，否则先手获胜。

1.2.2 nim博弈

两个人玩取石子游戏，共有N堆石子，每个人每次可以从一堆石子里面任意多个石子，最后取光者胜。
结论：亦或和为0先手必败，否则先手必胜。

阶梯nim：n级台阶，每级台阶上放有石子。每人每次选一级台阶上的若干石子移到下一层。第0层为地面。不能移动的为输。
结论：奇数级台阶的亦或和为0先手必败，否则先手必胜。

1.2.3 反nim博弈

将nim改为最后取的人输。
必胜态有两种：

1. 所有石堆个数都是1,且有偶数堆。
2. 如果存在某堆个数不为1,那么亦或和不为0。

1.2.4 威佐夫博弈

两个人玩取石子游戏，共有2堆石子，每个人可以选择从一堆石子里面取石子，也可以选择从两堆石子里面取相同数量的石子，最后取光者胜。
结论：必败局势为(a,b)(a<b)，满足
$a=(int)(b-a)*\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

代码：

		if (x > y)swap(x, y);
        double r = (sqrt(5.0) + 1) / 2;
        if ((int) ((double) (y - x) * r) == x)cout << "houshou" << endl;
        else cout << "xianshou" << endl;

1.2.5 Moore’s Nimk

两个人玩取石子游戏，共有N堆石子，每个人每次可以从至多k堆石子里面任意多个石子，最后取光者胜。
结论：把n堆石子的石子数用二进制表示，统计每个二进制位上1的个数，若每一位上1的个数mod(k+1)全部为0，则必败。

1.2.6 Fibonacci博弈

1堆石子有n个,两人轮流取。先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完。以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。最后取光者胜。
结论：先手必胜当且仅当识字数n不是Fibonacci数。

转载：https://blog.csdn.net/moon_sky1999/article/details/102055235