视觉SLAM笔记（19） 相似变换群与李代数

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1. 相似变换

在 视觉SLAM笔记（2） 相机 已经介绍过单目的尺度不确定性
如果在单目 SLAM 中使用 SE(3) 表示位姿
那么由于尺度不确定性与尺度漂移，整个 SLAM 过程中的尺度会发生变化，这在 SE(3) 中未能体现出来

因此，在单目情况下一般会显式地把尺度因子表达出来
用数学语言来说，对于位于空间的点 p，在相机坐标系下要经过一个相似变换，而非欧氏变换：

在相似变换中，把尺度 s 表达了出来
它同时作用在 p 的三个坐标之上，对 p 进行了一次缩放

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2. 群与李代数

与 SO(3)、 SE(3) 相似，相似变换亦对矩阵乘法构成群
称为相似变换群 Sim(3)：

同样地， Sim(3) 也有对应的李代数、指数映射、对数映射等等

李代数 sim(3) 元素是一个七维向量 ζ
它的前六维与 se(3) 相同，最后多了一项 σ

它比 se(3) 多了一项 σ

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3. 映射

关联 Sim(3) 和 sim(3) 的仍是指数映射和对数映射
指数映射 为：

其中 $J$_s 形式为：

通过指数映射，能够找到李代数与李群的关系

对于李代数元素 ζ，它与李群的对应关系为：

旋转部分和 SO(3) 是一致的
平移部分，在 se(3) 中需要乘一个雅可比 $J$ ，而相似变换的雅可比更复杂一些
对于尺度因子，可以看到李群中的 s 即为李代数中 σ 的指数函数

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4. BCH 近似

Sim(3) 的 BCH 近似与 SE(3) 是类似的
可以讨论一个点 $p$ 经过相似变换 $Sp$ 后，相对于 $S$ 的导数
同样的，存在微分模型和扰动模型两种方式，而扰动模型较为简单

省略推导过程，直接给出扰动模型的结果
设给予 $Sp$ 左侧一个小扰动 $exp$( $ζ$^)，并求 $Sp$ 对于扰动的导数
因为 Sp 四维的齐次坐标， $ζ$ 是七维向量，该导数应该是 4 × 7 的雅可比

为了方便起见，记 $Sp$ 的前三维组成向量 $q$，那么：

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参考：

《视觉SLAM十四讲》

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转载：https://blog.csdn.net/qq_32618327/article/details/101670087