视觉SLAM笔记（15） 李群与李代数

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1. 前言

之前介绍了三维世界中刚体运动的描述方式，包括旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数等若干种方式

重点介绍了旋转的表示，但是在 SLAM 中，除了表示之外，还要对它们进行估计和优化
因为在 SLAM 中位姿是未知的，而需要解决 什么样的相机位姿最符合当前观测数据 这样的问题

一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的 R，t，使得误差最小化
如前所言，旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为 1）
它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难

通过 李群——李代数 间的转换关系，希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式

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2. 基础

视觉SLAM笔记（7） 欧氏变换 介绍了 旋转矩阵的定义
视觉SLAM笔记（8） 齐次坐标 介绍了 变换矩阵的定义

当时，三维旋转矩阵构成了特殊正交群 $SO(3)$

而变换矩阵构成了特殊欧氏群 $SE(3)$

不过，当时并未详细解释群的含义
细心一些可能会注意到，旋转矩阵也好，变换矩阵也好， 它们对加法是不封闭的

换句话说，对于任意两个旋转矩阵 R1，R2，它们按照矩阵加法的定义，和不再是一个旋转矩阵：

对于变换矩阵亦是如此

发现，这两种矩阵并没有良好定义的加法，相对的，它们只有一种较好的运算：乘法
$SO(3)$ 和 $SE(3)$ 关于乘法是封闭的:

乘法对应着旋转或变换的复合——两个旋转矩阵相乘表示做了两次旋转

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3. 群

群（Group）是 一种集合 加上 一种运算 的代数结构
把集合记作 A，运算记作 ·，那么群可以记作 G = (A, ·)

群要求这个运算满足以下几个条件：

∀ :全称量词,即存在任意的意思
∃: 存在量词,即存在的意思

可以记作“封结幺逆”

可以验证，旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群，同样变换矩阵和矩阵乘法也构成群
因此才能称它们为旋转矩阵群和变换矩阵群

其他常见的群包括整数的加法 (Z, +)，去掉 0 后的有理数的乘法（幺元为 1） (Q, ·) 等等

矩阵中常见的群有：

• 一般线性群 GL(n)
  指 n × n 的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群
• 特殊正交群 SO(n)
  也就是所谓的旋转矩阵群，其中 SO(2) 和 SO(3) 最为常见
• 特殊欧氏群 SE(n)
  也就是前面提到的 n 维欧氏变换，如 SE(2) 和 SE(3)

群结构保证了在群上的运算具有良好的性质，而群论则是研究群的各种结构和性质的理论

李群是指 具有连续（光滑）性质的群
像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群

而 SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的
能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群
由于 SO(3) 和 SE(3) 对于相机姿态估计尤其重要，主要讨论这两个李群

下面，先从较简单的 SO(3) 开始讨论，将发现每个李群都有对应的李代数
首先引出 SO(3) 上面的李代数 so(3)

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4. 李代数的引出

考虑任意旋转矩阵 R，知道它满足：

现在，R 是某个相机的旋转，它会随时间连续地变化，即为时间的函数： R(t)
由于它仍是旋转矩阵，有:

在等式两边对时间求导，得到：

整理得：

可以看出 $\dot{R}$ (t) $R$(t)^T 是一个反对称矩阵

回忆之前，视觉SLAM笔记（6） 坐标系介绍外积时，引入了 ^ 符号，将一个向量变成了反对称矩阵

同理，对于任意反对称矩阵，亦能找到一个与之对应的向量
把这个运算用符号 ˇ 表示：

于是，由于 $\dot{R}$ (t) $R$(t)^T 是一个反对称矩阵，可以找到一个三维向量 $ϕ(t)$ ∈ R³ 与之对应
于是有：

等式两边右乘 $R$(t)，由于 $R$ 为正交阵，有：

可以看到，每对旋转矩阵求一次导数，只需左乘一个 ϕ^(t) 矩阵即可

为方便讨论，设 t₀ = 0，并设此时旋转矩阵为 $R$(0) = $I$

关于泰勒展开式：

按照导数定义，可以把 $R$(t) 在 0 附近进行一阶泰勒展开：

看到 $ϕ$ 反映了 R 的导数性质，故称它在 SO(3) 原点附近的正切空间 (Tangent Space) 上

同时在 t₀ 附近，设 $ϕ$ 保持为常数 $ϕ$(t₀) = $ϕ$₀

那么根据式：

则有：

上式是一个关于 R 的微分方程，而且知道初始值 $R$(0) = $I$，解之，得：

exp：高等数学里以自然常数e为底的指数函数

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5. 李代数的定义

每个李群都有与之对应的李代数
李代数描述了李群的局部性质

通用的李代数的定义如下：
李代数由一个集合 V，一个数域 F 和一个二元运算 [, ] 组成
如果它们满足以下几条性质，称 (V, F, [, ]) 为一个李代数，记作 $g$

自反性是指自己与自己的运算为零

其中二元运算被称为李括号
从表面上来看，李代数所需要的性质还是挺多的
相比于群中的较为简单的二元运算，李括号表达了两个元素的差异
它不要求结合律，而要求元素和自己做李括号之后为零的性质

作为例子，三维向量 R³ 上定义的叉积（外积） × 是一种李括号
因此 $g$ = (R³, R, ×) 构成了一个李代数

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6. 李代数so(3)

之前提到的 $ϕ$，事实上是一种李代数
SO(3) 对应的李代数是定义在 R³上的向量，记作 $ϕ$

根据前面的推导，每个 $ϕ$ 都可以生成一个反对称矩阵：

在此定义下，两个向量 $ϕ$₁， $ϕ$₂ 的李括号为：

由于 $ϕ$ 与反对称矩阵关系很紧密，在不引起歧义的情况下
就说 so(3) 的元素是 3 维向量或者 3 维反对称矩阵，不加区别：

至此，已清楚了 so(3) 的内容
它们是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应到一个反对称矩阵，可以表达旋转矩阵的导数

它与 SO(3) 的关系由指数映射给定：

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7. 李代数se(3)

对于 SE(3)，它也有对应的李代数 se(3)
与 so(3) 相似， se(3) 位于 R⁶ 空间中：

把每个 se(3) 元素记作 $ξ$，它是一个六维向量
前三维为平移，记作 $ρ$
后三维为旋转，记作 $ϕ$，实质上是 so(3) 元素

同时，拓展了 ^ 符号的含义
在 se(3) 中，同样使用 ^ 符号，将一个六维向量转换成四维矩阵，但这里不再表示反对称：

仍使用 ^ 和 ˇ 符号来指代“从向量到矩阵”和“从矩阵到向量”的关系
以保持和 so(3) 上的一致性

可以简单地把 se(3) 理解成“由一个平移加上一个 so(3) 元素构成的向量”（尽管这里的 ρ 还不直接是平移）
同样，李代数 se(3) 亦有类似于 so(3) 的李括号：

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参考：

《视觉SLAM十四讲》

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视觉SLAM笔记（12） 四元数
视觉SLAM笔记（11） 欧拉角
视觉SLAM笔记（10） 旋转向量

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转载：https://blog.csdn.net/qq_32618327/article/details/101599772