视觉SLAM笔记（16） 指数与对数映射
1. SO(3) 上的指数映射
考虑
(
^) 是如何计算的？
它是一个矩阵的指数，在李群和李代数中，称为 指数映射（Exponential Map）
任意矩阵的指数映射可以写成一个泰勒展开
但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵
同样地，对李代数 so(3) 中任意一元素
，亦可按此方式定义它的指数映射：
由于
是三维向量，可以定义它的模长和它的方向，分别记作
和
于是有
=
这里 a 是一个长度为 1 的方向向量
首先，对于 a^，有以下两条性质：
它们提供了处理 a^ 高阶项的方法
利用这两个性质，可以把指数映射写成：
最后得到了一个类似罗德里格斯公式的式子：
这表明， so(3) 实际就是由所谓的旋转向量组成的空间，而指数映射即罗德里格斯公式
通过它们，把so(3) 中任意一个向量对应到了一个位于 SO(3) 中的旋转矩阵
反之，如果定义对数映射，也能把 SO(3) 中的元素对应到 so(3) 中：
不过通常不按照泰勒展开去计算对数映射
之前 视觉SLAM笔记（10） 旋转向量 介绍过如何根据旋转矩阵计算对应的李代数，即使用式：
利用迹的性质分别求解转角和转轴，采用那种方式更加省事一些
现在，介绍了指数映射的计算方法
指数映射只是一个满射
这意味着每个SO(3) 中的元素，都可以找到一个 so(3) 元素与之对应
但是可能存在多个 so(3) 中的元素，对应到同一个 SO(3)
至少对于旋转角 θ，知道多转 360 度和没有转是一样的——它具有周期性
但是，如果把旋转角度固定在 ±π 之间，那么李群和李代数元素是一一对应的
SO(3) 与 so(3) 的结论似乎在意料之中
它和前面讲的旋转向量与旋转矩阵很相似，而指数映射即是罗德里格斯公式
旋转矩阵的导数可以由旋转向量指定，指导着如何在旋转矩阵中进行微积分运算
2. SE(3) 上的指数映射
这里就不再像 so(3) 那样详细推导指数映射
se(3) 上的指数映射形式如下：
把 exp 进行泰勒展开推导此式
从结果上看， ξ 的指数映射左上角的 R 是熟知的 SO(3) 中的元素，与 se(3) 当中的旋转部分 ϕ 对应
而右上角的 J 则可整理为（设 ϕ = θa）：
该式与罗德里格斯有些相似，但不完全一样
平移部分经过指数映射之后，发生了一次以 J 为系数矩阵的线性变换
重视这里的 J，因为后面还要用到它
同样的，虽然也可以类比推得对数映射
不过根据变换矩阵 T 求 so(3) 上的对应向量也有更省事的方式：从左上的 R 计算旋转向量，而右上的 t 满足：
由于 J 可以由 ϕ 得到，所以这里的 ρ 亦可由此线性方程解得
3. 相互转换关系
现在，已经弄清了李群、李代数的定义与相互的转换关系，总结如图：
参考：
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