视觉SLAM笔记（10） 旋转向量

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1. 矩阵的缺点

有了旋转矩阵来描述旋转，有了变换矩阵描述一个六自由度的三维刚体运动
是不是已经足够了呢？

但是，矩阵表示方式至少有以下几个缺点：

1. SO(3) 的旋转矩阵有九个量，但一次旋转只有三个自由度
   因此这种表达方式是冗余的
   同理，变换矩阵用十六个量表达了六自由度的变换
   那么，是否有更紧凑的表示呢？

2. 旋转矩阵自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1
   变换矩阵也是如此
   若想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更困难

因此，希望有一种方式能够紧凑地描述旋转和平移

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2. 旋转向量

例如，用一个三维向量表达旋转，用六维向量表达变换，可行吗？
事实上，这件事在 视觉SLAM笔记（6） 坐标系 介绍外积的那部分，提到过如何用外积表达两个向量的旋转关系

对于坐标系的旋转，任意旋转都可以用一个旋转轴 和 一个旋转角来刻画

于是，可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角
这种向量，称为 旋转向量（或轴角， AxisAngle）

这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转
同样，对于变换矩阵，使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换
这时的维数正好是六维

事实上，旋转向量就是之后准备介绍的 李代数
所以把它的详细内容留到后面介绍，现在只需知道旋转可以这样表示即可

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3. 向量和矩阵之间的转换

剩下的问题是，旋转向量和旋转矩阵之间是如何转换的呢？
假设有一个旋转轴为 $n$，角度为 $θ$ 的旋转，显然，它对应的旋转向量为 $θn$
由旋转向量到旋转矩阵的过程由 罗德里格斯公式（Rodrigues’s Formula ）表明
由于推导过程比较复杂，不作描述，只给出转换的结果：

符号 ^ 是向量到反对称的转换符，见 视觉SLAM笔记（6） 坐标系

反之，也可以计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换

对于转角 $θ$，有：

tr() 表示矩阵的迹，就是对角线上元素的和，也等于所有特征值的和
因此：

关于转轴 $n$，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明

因此，转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量
求解此方程，再归一化，就得到了旋转轴
也可以从“旋转轴经过旋转之后不变”的几何角度看待这个方程

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参考：

《视觉SLAM十四讲》

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谢谢！

转载：https://blog.csdn.net/qq_32618327/article/details/101470934