1. 欧氏变换
与向量间的旋转类似，同样可以描述两个坐标系之间的旋转关系，再加上平移，统称为坐标系之间的变换关系
在机器人的运动过程中，常见的做法是：
设定一个惯性坐标系或者叫（世界坐标系），可以认为它是固定不动的
例如 xW, yW, zW 定义的坐标系
同时，相机或机器人则是一个移动坐标系，例如 xC, yC, zC 定义的坐标系
如果存在相机视野中某个向量 p，它的坐标为 pC，而从世界坐标系下看，它的坐标 pw
这时，就需要先得到该点针对机器人坐标系坐标值，再根据机器人位姿转换到世界坐标系中
这个转换关系由一个矩阵 T 来描述
相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化
这种变换称为 欧氏变换
想象把手机抛到空中，在它落地摔碎之前，只可能有空间位置和姿态的不同
而它自己的长度、各个面的角度等性质不会有任何变化
这样一个欧氏变换由两部分组成：
- 旋转
- 平移
2. 旋转
假设某个单位正交基(e1，e2，e3) 经过一次旋转，变成了 (e′1，e′2，e′3)
那么，对于同一个向量 a（注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动）
它在两个坐标系下的坐标为 [a1，a2，a3]T 和 [a′1，a′2，a′3]T
根据坐标的定义，有：
为了描述两个坐标之间的关系，对上面等式左右同时左乘 [e1T，e2T，e3T]
那么左边的系数变成了单位矩阵
把中间的阵拿出来，定义成一个矩阵 R
这个矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系
只要旋转是一样的，那么这个矩阵也是一样的
可以说，矩阵 R 描述了旋转本身，因此它又称为 旋转矩阵
事实上，它是一个行列式为 1 的正交矩阵
反之，行列式为 1 的正交矩阵也是一个旋转矩阵
所以，可以把旋转矩阵的集合定义如下：
SO(n) 是 特殊正交群（Special Orthogonal Group）的意思
这个集合由 n 维空间的旋转矩阵组成，特别的 SO(3) 就是三维空间的旋转了
通过旋转矩阵，可以直接谈论两个坐标系之间的旋转变换，而不用再从基开始谈起了
换句话说， 旋转矩阵可以描述相机的旋转。
由于旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转
按照上面的定义方式，有：
显然 RT 刻画了一个相反的旋转
3. 平移
在欧氏变换中，除了旋转之外还有一个平移
考虑世界坐标系中的向量 a，经过一次旋转（用 R 描述）和一次平移 t 后，得到了 a′
那么把旋转和平移合到一起，有：
其中， t 称为平移向量
相比于旋转，平移部分只需把这个平移量加到旋转之后的坐标上，显得非常简洁
通过上式，用一个旋转矩阵 R 和一个平移向量 t 完整地描述了一个欧氏空间的坐标变换关系
参考：
相关推荐：
视觉SLAM笔记（6） 坐标系
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视觉SLAM笔记（4） SLAM的数学表述
视觉SLAM笔记（3） 视觉SLAM框架
视觉SLAM笔记（2） 相机
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