异常点/离群点检测算法——LOF

局部异常因子算法-Local Outlier Factor(LOF)

　　在数据挖掘方面，经常需要在做特征工程和模型训练之前对数据进行清洗，剔除无效数据和异常数据。异常检测也是数据挖掘的一个方向，用于反作弊、伪基站、金融诈骗等领域。
　　异常检测方法，针对不同的数据形式，有不同的实现方法。常用的有基于分布的方法，在上、下α分位点之外的值认为是异常值（例如图1），对于属性值常用此类方法。基于距离的方法，适用于二维或高维坐标体系内异常点的判别，例如二维平面坐标或经纬度空间坐标下异常点识别，可用此类方法。
　　
　　这次要介绍一下一种基于距离的异常检测算法，局部异常因子LOF算法（Local Outlier Factor）。
　　用视觉直观的感受一下，如图2，对于C1集合的点，整体间距，密度，分散情况较为均匀一致，可以认为是同一簇；对于C2集合的点，同样可认为是一簇。o1、o2点相对孤立，可以认为是异常点或离散点。现在的问题是，如何实现算法的通用性，可以满足C1和C2这种密度分散情况迥异的集合的异常点识别。LOF可以实现我们的目标。
　　
　　下面介绍LOF算法的相关定义：
　　1) $d(p, o)$：两点p和o之间的距离；
　　2) k-distance：第k距离
　　　　对于点p的第k距离$d_{k}(p)$定义如下：
　　　　$d_{k}(p) = d(p, o)$，并且满足：
　　　　　　a) 在集合中至少有不包括p在内的$k$个点$o^,\in C\{x \neq p\}$， 满足$d(p, o^,) \le d(p, o)$ ；
　　　　　　b) 在集合中最多有不包括p在内的$k-1$个点$o^,\in C\{x \neq p\}$，满足$d(p, o^,) \lt d(p, o)$ ；
　　　　p的第k距离，也就是距离p第k远的点的距离，不包括p，如图3。
　　　　
　　3) k-distance neighborhood of p：第k距离邻域
　　　　点p的第k距离邻域$N_k(p)$，就是p的第k距离即以内的所有点，包括第k距离。
　　　　因此p的第k邻域点的个数 $|N_k(p)| \ge k$。
　　4) reach-distance：可达距离
　　　　点o到点p的第k可达距离定义为：
　　　　$reach-distance_k(p, o) = max\{k-distance(o), d(p, o)\}$
　　　　也就是，点o到点p的第k可达距离，至少是o的第k距离，或者为o、p间的真实距离。
　　　　这也意味着，离点o最近的k个点，o到它们的可达距离被认为相等，且都等于$d_{k}(o)$。
　　　　如图4，$o_1$到p的第5可达距离为$d(p,o_1)$，$o_2$到p的第5可达距离为$d_5(o_2)$。
　　　　
　　5) local reachability density：局部可达密度
　　　　点ｐ的局部可达密度表示为：

$$lrd_k(p) = 1 / (\frac{\sum_{o \in N_{k}(p)} reach-dist_k(p,o)}{|N_{k}(p)|})$$
　　　　表示点p的第k邻域内点到p的平均可达距离的倒数。
　　　　注意，是p的邻域点 $N_k(p)$到p的可达距离，不是p到 $N_k(p)$的可达距离，一定要弄清楚关系。并且，如果有重复点，那么分母的可达距离之和有可能为0，则会导致lrd变为无限大，下面还会继续提到这一点。
　　　　这个值的含义可以这样理解，首先这代表一个密度，密度越高，我们认为越可能属于同一簇，密度越低，越可能是离群点。如果p和周围邻域点是同一簇，那么可达距离越可能为较小的 $d_{k}(o)$，导致可达距离之和较小，密度值较高；如果p和周围邻居点较远，那么可达距离可能都会取较大值 $d(p, o)$，导致密度较小，越可能是离群点。
　　 6) local outlier factor：局部离群因子
　　　　点p的局部离群因子表示为： $$LOF_k(p)=\frac{\sum_{o \in N_{k}(p)} \frac{lrd_k(o)}{lrd_k(p)}}{|N_k(p)|} = \frac{\sum_{o \in N_k(p)} lrd_k(o)}{|N_k(p)|} / lrd_k(p)$$
　　　　表示点p的邻域点 $N_k(p)$的局部可达密度与点p的局部可达密度之比的平均数。
　　　　如果这个比值越接近1，说明p的其邻域点密度差不多，p可能和邻域同属一簇；如果这个比值越小于1，说明p的密度高于其邻域点密度，p为密集点；如果这个比值越大于1，说明p的密度小于其邻域点密度，p越可能是异常点。
　　现在概念定义已经介绍完了，现在再回过头来看一下lof的思想，主要是通过比较每个点p和其邻域点的密度来判断该点是否为异常点，如果点p的密度越低，越可能被认定是异常点。至于密度，是通过点之间的距离来计算的，点之间距离越远，密度越低，距离越近，密度越高，完全符合我们的理解。而且，因为lof对密度的是通过点的第k邻域来计算，而不是全局计算，因此得名为“局部”异常因子，这样，对于图1的两种数据集C1和C2，lof完全可以正确处理，而不会因为数据密度分散情况不同而错误的将正常点判定为异常点。
　　算法思想已经讲完了，现在进入干货环节，亮代码。
　　给一个python实现的lof算法：
　　 https://github.com/damjankuznar/pylof
　　再给一下我fork之后的代码：
　　 https://github.com/wangyibo360/pylof
　　有区别：
　　上面提到了，对于重复点局部可达密度可能会变为无限大的问题，我改的代码对这个问题做了处理，如果有重复点方面的场景，可以用我的代码，源代码这块有bug没有fix，而且好像代码主人无踪影了，提的pull也没人管。。。

转载：https://blog.csdn.net/wangyibo0201/article/details/51705966