移动机器人的运动学模型:车式移动机器人

车式移动机器人运动学模型

问题

车式移动机器人更具有普遍意义。

参数

• $v$：机器人自身线速度
• $\omega$：前轮转向角速度
• $\textbf{u}$：输入，包括 $v$， $\omega$
• $\dot{\textbf{q}}$：机器人在环境中的位姿描述
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚
• $\phi$：前轮转角
• $L$：车身长度

推导1

当知道机器人自身前进速度和前轮转角角速度时，求机器人在环境中的位姿。

$\dot{\textbf{q}}$= $f(\textbf{u})$

定义机器人在环境中位姿：
$\textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ \phi \end{aligned} \right]$
机器人输入，包括自身线速度和前轮转角角速度：
$\textbf{u}=\left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right]$
而
$\begin{aligned} \dot{x} &= \cos(\theta) v \\ \dot{y} &= \sin(\theta) v\\ \dot{\phi} &= \omega \end{aligned}$
对与计算角速度可以参照下图(其他地方扣过来的，注意符号使用不太一样)

就有了 $\dot{\theta} = \frac{\tan\phi}{L} v$
那么，
$\dot{\textbf{q}}= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \textbf{u}$
更详细的，即：
$\left [ \begin{aligned} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \end{aligned} \right]= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \left [ \begin{aligned} v \\ \omega \\ \end{aligned} \right]$

推导2

另一种情况是，知道机器人的前轮转角角度（即方向盘角度）和前进速度，想要求机器人的状态。

• $v$：机器人自身线速度（前进速度）
• $\theta$：机器人纵向轴与x轴之间的夹脚（方向盘角度）
• $\textbf{u}$：输入，包括 $v$， $\theta$
• $\dot{\textbf{q}}$：机器人在环境中的位姿描述
• $\phi$：前轮转角
• $L$：车身长度
  机器人的状态
  $\textbf{q}=\left [ \begin{aligned} x \\ y \\ \theta \\ \end{aligned} \right]^T$
  机器人输入，包括自身线速度和前轮转角角速度：
  $\textbf{u}=\left [ \begin{aligned} v \\ \phi \\ \end{aligned} \right]$
  那么，
  $\dot{\textbf{q}}= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \textbf{u}$
  更详细的，即：
  $\left [ \begin{aligned} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \\ \end{aligned} \right]= \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 \\ \sin(\theta) & 0 \\ \frac{\tan\phi}{L} & 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \left [ \begin{aligned} v \\ \phi \\ \end{aligned} \right]$

Reference

• https://blog.csdn.net/qq_40870689/article/details/87971282
• http://www.cs.cmu.edu/~rasc/Download/AMRobots3.pdf
• Autonomous Robots Modeling, Path Planning, and Control