最速下降法（梯度下降法）python实现_小言_互联网的博客

最速下降法（梯度下降法）python实现

2020-04-01 15:16 1115人阅读评论(0)

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最近在写论文，做的是共轭梯度反演方法，所以将论文中的部分内容分享出来吧。

大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟。牛顿法、共轭梯度法等等。在数学领域称为最优化，在地球物理领域也称为反演。

关于最速下降法的原理这里就不赘述了，本文也是实现的最基本的最速下降法，当然还有随机梯度下降等改进后的算法。

当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局最优解。一般情况下，其解不保证是全局最优解。梯度下降法的收敛速度也未必是很快的。

缺点：数值实验表明，当目标函数的等值线接近一个圆（球）时，最速下降法下降很快，当目标函数的等值线是一个扁长的椭球时，最速下降法开始几步下降较快，后来就出现锯齿线性，下降就十分缓慢。原因是在相邻两个迭代点上的函数f(x)的两个梯度是互相正交的，即，两个搜索方向互相正交，就产生了锯齿性质。当接近极小点时，步长越小，前进越慢。

梯度下降法算法如下(吐槽：csdn这个文档格式真的是太丑了而且不方便，所以公式还是直接截word图片更清楚)：

以Rosenbrock函数为例，即

于是可得函数的梯度为：

采用Goldstein原则确定最优步长，同时也有Wolfe法线性搜索，本文采用的是Goldstein原则。

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


"""
最速下降法
Rosenbrock函数
函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""


def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
    '''
    线性搜索子函数
    数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d
    '''
    flag = 0

    a = 0
    b = alpham
    fk = f(x)
    gk = df(x)

    phi0 = fk
    dphi0 = np.dot(gk, d)
    # print(dphi0)
    alpha=b*random.uniform(0,1)

    while(flag==0):
        newfk = f(x + alpha * d)
        phi = newfk
        # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
        if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
            if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
                flag = 1
            else:
                a = alpha
                b = b
                if (b < alpham):
                    alpha = (a + b) / 2
                else:
                    alpha = t * alpha
        else:
            a = a
            b = alpha
            alpha = (a + b) / 2
    return alpha


def rosenbrock(x):
    # 函数:f(x) = 100 * (x(2) - x(1). ^ 2). ^ 2 + (1 - x(1)). ^ 2
    return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2


def jacobian(x):
    # 梯度g(x) = (-400 * (x(2) - x(1) ^ 2) * x(1) - 2 * (1 - x(1)), 200 * (x(2) - x(1) ^ 2)) ^ (T)
    return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])



def steepest(x0):

    print('初始点为:')
    print(x0,'\n')
    imax = 20000
    W = np.zeros((2, imax))
    epo=np.zeros((2, imax))
    W[:, 0] = x0
    i = 1
    x = x0
    grad = jacobian(x)
    delta = sum(grad ** 2)  # 初始误差

    f=open("最速.txt",'w')

    while i < imax and delta > 10 ** (-5):
        p = -jacobian(x)
        x0 = x
        alpha = goldsteinsearch(rosenbrock, jacobian, p, x, 1, 0.1, 2)
        x = x + alpha * p
        W[:, i] = x
        if i % 5 == 0:

            epo[:,i] =np.array((i,delta))
            f.write(str(i)+"        "+str(delta)+"\n")
            print(i,np.array((i,delta)))
        grad = jacobian(x)
        delta = sum(grad ** 2)
        i = i + 1

    print("迭代次数为:", i)
    print("近似最优解为:")
    print(x, '\n')
    W = W[:, 0:i]  # 记录迭代点

    return [W,epo]

if __name__=="__main__":
    X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)
    X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)
    [x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)
    f = 100 *(x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2  # 给定的函数
    plt.contour(x1, x2, f, 20)  # 画出函数的20条轮廓线

    x0 = np.array([-1.2, 1])
    list_out = steepest(x0)
    W=list_out[0]

    epo=list_out[1]

    plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-')  # 画出迭代点收敛的轨迹

    plt.show()

输出结果（由于在线性搜索子程序中使用了随机函数，初始搜索点是随机产生的，因此每次运行的结果不太相同）：