数值计算方法（零）——运算的要求+基本算法

数值运算的要求

1.保证数值稳定型，即在迭代递推的过程中，误差应该逐渐减小，而不是逐渐放大
2.避免相近的两数相减，通过变换消除减法项
3.防止大数“吃掉”小数，注意保护重要物理参数（解方程时和计算绝对值相差较大的加法时）
4.防止溢出
5.简化计算步骤，减少运算次数，避免误差累积

三个简单的算法

（一）正向与反向计算

反向计算比正向计算更加精确，因为正向计算会导致大数“吃掉”小数。
上代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include "math.h"
using namespace std;

void main()
{
	int i,n;
	float temp,sum1,sum2;
	n=10000000;

	sum1=0.0;
	sum2=0.0;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		temp=1.0/(float)i;
		sum1=sum1+temp*temp;
	}
	printf("the sum1 is %16.12f\n",sum1);

	for (i=n;i>=1;i--)
	{
		temp=1.0/(float)i;
		sum2+=temp*temp;
	}

	printf("the sum2 is %16.12f\n",sum2);
	system("pause");
}

（二）秦久韶算法计算多项式
对于一个多项式：

法1：从右往左计算，设置一个中间变量保存x的高次，避免每次都要重新计算高次幂。

法2：秦久韶算法，对多项式提取公因式


代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include "math.h"

using namespace std;

int function_qin1(int x)
{
	int a[6]={1,-1,4,0,-3,1};
	int i;
	int temp,sum;
	sum=a[0];
	temp=1;
	for(i=1;i<6;i++)
	{
		temp*=x;
		sum+=temp*a[i];
	}
	return sum;
}

int function_qin2(int x)
{
	int i;
	int n=6;
	int a[6]={1,-1,4,0,-3,1};
	int sum;
	sum=a[5];
	for(i=4;i>=0;i--)
	{
		sum=sum*x+a[i];
	}
	return sum;
}

void main()
{
	cout<<"the result is"<<function_qin1(3)<<endl;
	cout<<"the result is"<<function_qin2(3)<<endl;
	system("pause");
}

（三）一元二次方程求根
1.利用求根公式求解绝对值大的根
2.利用韦达定理求解绝对值较小的根

代码（跟流程图存在一些差异）：

#include <iostream>
#include "math.h"
#include <stdio.h>
using namespace std;

void Solve_equation(double b,double c,double *ptr)
{
	float d;
	d=(b*b-4*c);

	//判断d的正负
	if(d<0)
	{
		cout<<"error"<<endl;
		return;
	}
	else
	{
		d=sqrt(d);
		//判断b的正负，然后找到绝对值大的解
		if(b>0)
		{
			//绝对值大的解
			(*ptr)=(-b-d)/2;
			//利用韦达定理求解另一根
			(*(ptr+1))=c/(*ptr);
		}
		else
		{
			//绝对值大的解
			(*ptr)=(-b+d)/2;
			//利用韦达定理求解另一根
			(*(ptr+1))=c/(*ptr);
		}
	}
	cout<<"the x1 is"<<(*ptr)<<"the x2 is"<<(*(ptr+1))<<endl;
}

void main()
{
	double x[2];
	double b=-(1+10e9),c=10e9;
	
	Solve_equation(b,c,x);
	system("pause");
}

（四）方程求根的二分法
前提：单调函数，且区间内存在根
算法描述：
1.取区间中点为根
2.判断根的函数值与上限的函数值的乘积是否大于0
3.如果大于0则说明实际根位于下限与当前跟之间
4.更新区间
5.迭代，直到误差范围小于要求（误差即为上下限之差/2）

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;

float Equation_function(float x)
{
	return pow(x,3)-x-1;
}

float Dichotomy_solution(float error_range,float down,float upper)
{
	float error=(upper-down)/2;
	float x;
	float y,y0,y1;				//用来记录x,upper,down的函数值
	int count=0;

	while(error>=error_range)
	{
		//找到当前上下限对应的解以及误差
		x=(upper+down)/2;
		error=(upper-down)/2;

		//计算此时的x,upper,down对应的函数值
		y=Equation_function(x);
		y0=Equation_function(down);
		y1=Equation_function(upper);

		if((y*y1)<0)
		{
			down=x;
		}
		else if((y*y1)==0)
		{
			return x;
		}
		else
		{
			upper=x;
		}
	}
	return x;
}

void main()
{
	float x;
	x=Dichotomy_solution(1e-3,1,2);
	cout<<"x is "<<x<<endl;
	system("pause");
}