趋势

时间系列通常朝着特定的方向发展。就摩尔定律而言，很容易看出，随着时间的推移，y 轴上的值会增加，并且呈上升趋势。图 9-2中的时间序列也有上升趋势。当然，情况并非总是如此：一些时间序列可能随时间大致持平，尽管有季节性变化，而其他时间序列则有下降趋势。例如，预测每个晶体管价格的摩尔定律的逆版本就是这种情况。

季节性

许多时间序列随着时间的推移具有重复模式，重复发生在称为seasons的固定时间间隔。例如，考虑天气中的温度。我们通常每年有四个季节，夏季气温最高。所以如果你绘制几年的天气图，你会看到每四个季节出现一次高峰，这给了我们季节性的概念。但这种现象并不局限于天气——例如，考虑一下图 9-3，这是一个网站的流量图。

图 9-3。网站流量

 它是逐周绘制的，您可以看到有规律的下降。你能猜出它们是什么吗？本例中的站点是为软件开发人员提供信息的站点，正如您所料，它在周末的访问量较少！因此，时间序列具有五个高天和两个低天的季节性。数据是按几个月绘制的，圣诞节和新年假期大致在中间，因此您可以在那里看到额外的季节性。如果我把它绘制了几年，你会清楚地看到额外的年末下降。

季节性可以通过多种方式体现在时间序列中。例如，零售网站的流量可能会在周末达到峰值。

自相关

其他您可能会在时间序列中看到的特征是事件发生后出现可预测的行为。您可以在图 9-4中看到这一点，其中有明显的尖峰，但在每个尖峰之后，都会出现确定性衰减。这称为自相关。

在这种情况下，我们可以看到重复的一组特定行为。自相关可能隐藏在时间序列模式中，但它们具有内在的可预测性，因此包含许多自相关的时间序列可能是可预测的。

图 9-4。自相关

噪音

作为顾名思义，噪声是时间序列中一组看似随机的扰动。这些扰动导致高度的不可预测性，并可能掩盖趋势、季节性行为和自相关。例如，图 9-5显示了与图 9-4相同的自相关，但添加了一点噪声。突然之间，很难看到自相关和预测值。

图 9-5。添加噪声的自相关序列

鉴于所有这些因素，让我们探讨如何对包含这些属性的时间序列进行预测。

创建基线的朴素预测

这预测时间序列的最基本方法是说时间t + 1 的预测值与时间t的值相同，有效地将时间序列移动一个周期。

让我们开始创建具有趋势、季节性和噪声的时间序列：

    

     

      

       

      
      

       

        def 
        plot_series(
        time, series, format="-", start=0, end=None):
       
      
     

      

       

      
      

       

            plt.plot(time[start:end], series[start:end], 
        format)
       
      
     

      

       

      
      

       

            plt.xlabel(
        "Time")
       
      
     

      

       

      
      

       

            plt.ylabel(
        "Value")
       
      
     

      

       

      
      

       

            plt.grid(
        True)
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        def 
        trend(
        time, slope=0):
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        return slope * time
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        def 
        seasonal_pattern(
        season_time):
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        """Just an arbitrary pattern, you can change it if you wish"""
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        return np.where(season_time < 
        0.4,
       
      
     

      

       

      
      

       

                            np.cos(season_time * 
        2 * np.pi),
       
      
     

      

       

      
      

       
                    
        1 / np.exp(
        3 * season_time))
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        def 
        seasonality(
        time, period, amplitude=1, phase=0):
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        """Repeats the same pattern at each period"""
       
      
     

      

       

      
      

       

            season_time = ((time + phase) % period) / period
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        return amplitude * seasonal_pattern(season_time)
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        def 
        noise(
        time, noise_level=1, seed=None):
       
      
     

      

       

      
      

       

            rnd = np.random.RandomState(seed)
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        return rnd.randn(
        len(time)) * noise_level
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        time = np.arange(
        4 * 
        365 + 
        1, dtype=
        "float32")
       
      
     

      

       

      
      

       

        baseline = 
        10
       
      
     

      

       

      
      

       

        series = trend(time, 
        .05)  
       
      
     

      

       

      
      

       

        baseline = 
        10
       
      
     

      

       

      
      

       

        amplitude = 
        15
       
      
     

      

       

      
      

       

        slope = 
        0.09
       
      
     

      

       

      
      

       

        noise_level = 
        6
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        # Create the series
       
      
     

      

       

      
      

       

        series = baseline + trend(time, slope) 
       
      
     

      

       

      
      

       

                          + seasonality(time, period=
        365, amplitude=amplitude)
       
      
     

      

       

      
      

       

        # Update with noise
       
      
     

      

       

      
      

       

        series += noise(time, noise_level, seed=
        42)
       
      
    
   

    
   

绘制此图后，您会看到类似图 9-6的内容。

图 9-6。显示趋势、季节性和噪声的时间序列

现在您有了数据，您可以像任何数据源一样将其拆分为训练集、验证集和测试集。当数据中存在一些季节性时，如您在本例中所见，拆分系列时最好确保每个拆分中都有整个季节。因此，举例来说，如果您想将图 9-6中的数据拆分为训练集和验证集，那么执行此操作的好地方可能是时间步长 1,000，为您提供直到步长 1,000 的训练数据和步长 1,000 之后的验证数据.

您实际上不需要在此处进行拆分，因为您只是在进行简单的预测，其中每个值t只是步骤t – 1 的值，但为了在接下来的几幅图中进行说明，我们将放大从时间步长 1,000 开始的数据。

要从分割时间段开始预测序列，您要分割的时间段在变量split_time中，您可以使用如下代码：

naive_forecast = series[split_time - 1:-1]

图 9-7显示了覆盖朴素预测的验证集（从时间步长 1,000 开始，您可以将其设置split_time为1000）。

它看起来非常好——值之间存在关系——而且，随着时间的推移绘制图表时，预测似乎与原始值非常接近。但是您将如何衡量准确性？

衡量预测准确性

那里衡量预测准确性的方法有很多种，但我们将集中讨论其中两种： 均方误差(MSE) 和 平均绝对误差(MAE)。

使用 MSE，您只需计算时间t的预测值与实际值之间的差值，将其平方（以去除负值），然后求出所有这些值的平均值。

使用 MAE，您可以计算时间t的预测值与实际值之间的差值，取其绝对值以去除负值（而不是平方），然后找到所有这些值的平均值。

对于您刚刚基于我们的合成时间序列创建的朴素预测，您可以像这样获得 MSE 和 MAE：

    

     

      

       

      
      

       

        print(keras.metrics.mean_squared_error(x_valid, naive_forecast)
        .numpy())
       
      
     

      

       

      
      

       

        print(keras.metrics.mean_absolute_error(x_valid, naive_forecast)
        .numpy())
       
      
    

我得到了 76.47 的 MSE 和 6.89 的 MAE。与任何预测一样，如果可以减少误差，就可以提高预测的准确性。接下来我们将看看如何做到这一点。

不那么天真：使用移动平均线进行预测

这先前的朴素预测将时间t – 1 的值作为时间 t 的预测值。使用移动平均线是类似的，但它不是只从t – 1中取值，而是取一组值（比如 30），对它们进行平均，并将其设置为时间t的预测值。这是代码：

    

     

      

       

      
      

       

        def 
        moving_average_forecast(
        series, window_size):
       
      
     

      

       

      
      

       

        """Forecasts the mean of the last few values.
       
      
     

      

       

      
      

       

         If window_size=1, then this is equivalent to naive forecast"""
       
      
     

      

       

      
      

       

            forecast = []
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        for time 
        in 
        range(
        len(series) - window_size):
       
      
     

      

       

      
      

       

                forecast.append(series[time:time + window_size].mean())
       
      
     

      

       

      
      

       
    
        return np.array(forecast)
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        moving_avg = moving_average_forecast(series, 
        30)[split_time - 
        30:]
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        plt.figure(figsize=(
        10, 
        6))
       
      
     

      

       

      
      

       

        plot_series(time_valid, x_valid)
       
      
     

      

       

      
      

       

        plot_series(time_valid, moving_avg)
       
      
    

图 9-8显示了移动平均线与数据的关系图。

图 9-8。绘制移动平均线

当我绘制这个时间序列时，我得到的 MSE 和 MAE 分别为 49 和 5.5，因此它确实稍微改进了预测。但是这种方法没有考虑趋势或季节性，所以我们可以通过一些分析进一步改进它。

改进移动平均线分析

鉴于这个时间序列的季节性是 365 天，你可以使用一种叫做平滑趋势和季节性的技术 差分，它只是从 t 处的值减去t – 365 处的值。这将使图表变平。这是代码：

    

     

      

       

      
      

       

        diff_series = (series[
        365
        :] - series[
        :-
        365])
       
      
     

      

       

      
      

       

        diff_time = time[
        365
        :]
       
      
    

 您现在可以计算这些值的移动平均值并将过去的值加回去：

    

     

      

       

      
      

       

        diff_moving_avg = 
       
      
     

      

       

      
      

       

            moving_average_forecast(diff_series, 
        50)[split_time - 
        365 - 
        50
        :]
       
      
     

      

       

      
      

       
 
       
      
     

      

       

      
      

       

        diff_moving_avg_plus_smooth_past = 
       
      
     

      

       

      
      

       

            moving_average_forecast(series[split_time - 
        370
        :-
        360], 
        10) + 
       
      
     

      

       

      
      

       

            diff_moving_avg
       
      
    

绘制此图时（参见图 9-9），您已经可以看到预测值有所改善：趋势线非常接近实际值，尽管噪音被消除了。季节性似乎在起作用，趋势也是如此。

图 9-9。改进的移动平均线

这种印象通过计算 MSE 和 MAE 得到证实——在这种情况下，我分别得到 40.9 和 5.13，表明预测有明显改善。