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前言
上几篇文章分别介绍了模糊化切换增益(也就是模糊化外界扰动d)、模糊化系统部分的不确定项f、模糊化整个切换项，其原理分别为利用滑膜存在条件ss'的关系、状态变量、滑模面s设计隶属度函数构造模糊系统，输出为自适应律，通过自适应律对需要估计的部分进行逼近。今天这篇文章将去逼近系统不确定性f和g，以及外界扰动d，即同时模糊化系统部分的不确定项f、模糊化整个切换项，相当于对前面的文章进行了一个综合。
1.系统描述
和上篇文章一样以n阶系统为例：
其中f和g为已知函数(线性或者非线性均可)，dt为有上届的扰动。
2.控制器设计
和上几篇文章的设计一模一样，仍以简单的线性滑膜面为例，其实其它类型的滑模面方法都类似
Sliding mode surface：
其中e=x-xd，ki为满足Hurwitz多项式条件的取值。
很容易得到我们的控制输入：
其中usw即为切换项/鲁棒项，假定我们选择等速趋近律ηsign(s)，其中η > |d|max，且当其为理想参照切换项。
3.模糊化设计
假设系统的f、g和外界扰动d均有界未知，则上述控制器变为：
3.1构造模糊系统
①对系统部分的f和g逼近时，使用xi的隶属度函数均选择gaussmf(x,[pi/12,pi/24-(i-1)*pi/24])，i=1,2,3,4,5。即：
总结：使用xi的隶属度函数构造模糊系统f^(xi|θf)和g^(xi|θg)，输出为模糊向量ξ和Φ，模糊输出向量用于构造逼近f和g所设计的自适应律θf和θg，且f^ = θf*ξf、g^ = θg*ξg。
②对外界扰动d逼近时，使用滑模面s的隶属度函数均选择s形隶属度函数sigmf(x,[-5,-3+(j-1)*3])，j=1,2,3。即：
总结：使用s的隶属度函数构造模糊系统d^(s|θusw)，输出为模糊向量ξusw，模糊输出向量用于构造逼近d所设计的自适应律θusw，且usw^ = θusw*ξusw。
3.2自适应律设计
所以自适应律的设计最优值为逼近误差最小时的取值：
定义逼近的误差：
即：
符号解释说明：
指系统中的不确定f；
和
指实际取值的自适应律θ时逼近的f(因为逼近也不可能做到没一点误差)，即实际逼近的f ；
指取值为最优自适应律参数θf*时逼近的f，即最优逼近的f。
同样和上两篇文章一样要求取自适应律，则要进行Lyapunov函数稳定性分析，通过稳定性分析证明来得到自适应律，定义Lyapunov函数：
其中：
为了方便运算，对V求导前先运算得到s'：
这里由于g是估计的，不能和以往一样直接代入控制输入u，需要进行转化(想办法利用上述的逼近误差表达式) ，先加减g^u
由控制输入：
得到：
消去
，得到：
将逼近误差表达式：
代入，得到：
为了引入实际自适应律与理想自适应律的误差关系，即上面定义Lyapunov函数定义的：
s'式子加减
所以Lyapunov函数导数V'=
由于理想的usw^ = ηsign(s)，所以有：
所以设计如下的自适应律：
其中r1、r2、r3 > 0。
最终得到V'=
注：
①这里为了缩写简化，有的地方将usw写成了h。
②θ'为自适应律，下标为对应的不确定项；ξ为模糊基向量，即模糊系统的输出，下标含义同自适应律，(.)表示设计模糊系统所使用的变量，分别为xi和滑模面s。
③自适应律的标准组成形式即为：θ' = 调节参数ri*模糊系统输出ξj。
4仿真分析
4.1仿真系统
仍采用和前述文章一直的二阶倒立摆非线性系统，并增加扰动d=sin(t)：
4.2仿真模型
指令信号xd = 0.1sin(t)，且x0=[pi/6;0;0]
4.3仿真结果
4.3结论
①可以看到基于模糊逼近f、g、usw的滑膜控制在初态响应上优于普通等速趋近律；
②从切换项估计usw^和滑模面s可以看到模糊滑膜控制抖动更小；
③无论自适应律参数ri怎么调节都无法实现逼近，存在较大的误差。
④而且在参数调节上，ri如果调大会报错，滑模面系数在模糊滑模控制中不能调的很大，但是普通趋近律中可以调大一些。
⑤实际上是利用滑模面s、相应的变量的隶属度函数μi进行估计，自适应律的作用就是模糊输出和调节参数ri的乘积，用于调参逼近不确定；
⑥由于滑模控制律中分母为g^，而自适应律为g^的组成，所以自适应律状态变量初值不能为0，即g^不能为0，否则NAN报错。
注：由于符号太多可能会存在错误，可以指出，后续有时间我也会再去检查，谢谢理解！
转载：https://blog.csdn.net/weixin_50892810/article/details/128142078