前言
之前关于森林火灾蔓延模型小伙伴们反响都还不错，今天我们对海啸进行数学建模。
在文章初始，先喂自己袋盐。
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文中涉及到的代码地址如下：
matlab源码集锦-海啸传播模型
https://download.csdn.net/download/wenyusuran/16237225
地震的形成是地壳在地球内动力地质作用下，地壳相邻地块发生缓慢的相对位移，地壳岩石发生变形，岩石应变量随地块逐步位移而增大。当岩石应变量大于岩石所能承受的强度时，岩石发生破裂，岩石弹性变形迅速恢复。这时储存于岩石中的弹性变形能突然释放，便形成地震。弹性变形地壳突然位移引起其上水体扰动，则形成涌浪、海啸。所以，海啸和地震在空间分布和发生时间上存在着密切的联系，破坏型海啸自然多分布在地震带上。
我们现在都非常清楚海啸是从深海开始的水波，通常是因为水下地震（虽然海啸也可能是由水下滑坡或火山造成的），然后向海岸传播。最初，海啸的振幅相对较小（典型的是一米左右），这似乎使它们像风浪一样无害。事实上，海啸经常在深海中通过船只，甚至没有人注意到。
海啸传播方式
由于海啸波的传播速度与海水深度的平方根有关，其传播速度降低到每小时几十公里，前进受到阻挡，就会形成十几米和几十米的浪高，冲向陆地.这种波长极长、速度极快的海啸波，一旦从深海到达了岸边，前进受到了阻挡，其全部的巨大能量，将变为巨大的破坏力量，摧毁一切可以摧毁的东西，造成巨大的灾难。
海啸是像地震一样大的事件，海啸的波长很大 - 典型的是200公里（与风浪相反，其波长通常接近100米）。特别是，海啸的波长远远大于海洋的深度（通常为2-3公里）。因此，即使在深海中，海啸的动态也基本上由浅水方程控制。这些方程的一个结果是海啸的传播速度
，可以用公式近似：
是海洋的深度，
是重力。因此，深水中的海啸移动速度非常快 - 例如每小时500公里（每小时300英里）的速度是非常典型的; 例如，在不到一天的时间内就可以从日本旅行到美国。这是由于水的不可压缩性（和质量守恒）; 非常宽和深的水波的巨大净压力（或者更准确地说，这种压力的空间变化）迫使波浪的轮廓以很大的速度水平移动。（注意，这是海啸波的相速度，而不是水分子本身的速度，它们要慢得多。）
当海啸接近海岸时，深度当然会减少，导致海啸减速，速度与深度的平方根成正比，如（1）所示。不幸的是，波浪浅滩然后迫使振幅
以由格林定律控制的反向速率增加，
至少直到幅度变得与水深相当（此时，上述近似结果会被破坏;同样，在两个（水平）空间维度中，当海啸向外扩散时，振幅会有一些衰减）。如果假设海啸开始，其初始振幅
，处于深度
，用比例关系计算振幅和深度，得海啸的振幅（和水的深度）
。因此，例如，在2公里深度处初始幅度为1米的海啸最终可以在岸边附近达到约5米的最终幅度，同时仍然以每秒约10米的速度行进（每小时35公里，或22每小时英里数），我们现在就看到了当它到达岸边时可能产生的影响。
虽然海啸太大而无法控制（至少在深海），但我们至少可以在数学上对它们进行建模，从而可以高精度地预测它们在沿海各个地方的影响。用于执行此类模型的完整方程式和数值方法有些复杂，但是通过大量的简化假设，就相对容易地得出一个已经预测了海啸传播基本特征的粗糙模型，如速度公式（1）和幅度比例法（2）。我在下面给出了这个（标准）推导。这个论点在很大程度上是启发式的; 实际上，下面的许多步骤都是非常有趣的分析问题，我们这里不做讨论。
浅水波方程
当然，海洋是一种三维流体，但为了简化分析，我们将考虑一个二维模型，其中唯一的空间变量是水平变量
和垂直变量
，其中
是平衡海平面。我们用曲线模拟海底
因此海洋深度的测量位置
。在任何时间
和位置，水的高度（与海平面相比）将由未知的高度函数
给出; 因此，在任何时候，海洋都占据了该地区
现在，我们通过在每个时间和
海洋中的每个点分配速度矢量来模拟海洋内水的运动
我们做了不可压缩性的基本假设，因此
水的密度始终是恒定的
。
根据牛顿第二定律
，速度随时间而变化。为了将此定律应用于流体，我们考虑沿着速度场流动的无穷小量的水
。因此，在时间上，我们假设这个水量占据了我们所拥有的某些无限小的区域
和某个位置
由于不可压缩性，该区域保持不变，并且该无限小部分水的质量为
。这个水体上会有两股力量; 重力和
压力场的力，由压力场
给出
。在海啸的长度和时间尺度上，我们可以忽略其他力量的影响，如粘度或表面张力。然后牛顿定律给出了
这简化了不可压缩的欧拉方程
目前，没有给出压力。然而，我们可以通过假设（垂直）流体静力平衡来简化事物，即
压力的垂直效应抵消了
重力的影响。我们还假设水面上
的压力为零。总之，这两个假设迫使压力成为静水压力
这反映了一个直观合理的事实，即海洋下一点的压力应该由该点以上的水的重量决定。
不可压缩的欧拉方程现在简化为
接下来我们将浅水近似表明水的波长远大于水的深度。特别是，我们不期望变量中的速度场发生显着变化，从而使ansatz成为可能
（这个ansatz应该用一粒盐，特别是当应用于速度的分量
时，实际上必须波动以适应海洋深度和高度函数的变化。但是，主要成分是速度是水平分量
，在实际海啸中，这确实表现为垂直不敏感。）
取的组分（4） ，和缩写为
，我们得到第一浅水波方程
这在泰勒扩展到第二个浅水波方程后简化了
等式（6），（7）在未知数中是非线性的
。然而，通过假设波的幅度与水的深度相比较小，可以近似线性化它们：
这个假设对于深海中的海啸，甚至是中等深度的海啸都是相当准确的，但是一旦海啸到达海岸（动力学模型更难以模拟），当然是不合理的。
假设（11）已经简化（7）到（近似）
至于（6），我们认为左侧的第二个词可以忽略不计，导致
为了解释为什么是启发式，我们希望这是情况，让我们做的是拟设
，并有幅度，
分别是传播相速度和波长
; 让我们也做出（合理的）假设，即空间变化比变化慢得多（即在波长范围内大致恒定），因此我们可以（对于第一次近似）替换
为
。然后我们有
然后联立等式（12）
从（11）我们期望
，因此
; 波的传播速度比流体的速度快得多。特别是，我们预计
会比
小得多，这就解释了为什么我们希望在（6）中第二个任期减少以获得（13）。
如果我们现在将上述ansatz插入（13），我们就得到了
将其与（14）相结合，我们已经得到了速度关系（1）。
为了得到关系（2），我们必须更仔细地分析ansatz。首先，我们将（13）和（12）组合成高度函数的单个方程。实际上，在时间上区分（12）然后在（13）和（1）中代入
为了解决这个波动方程，我们使用标准的正弦曲线
是缓慢变化的功能，并且
是一个小参数。插入此ansatz并提取项
，我们得出了eikonal方程
和Hamilton-Jacobi方程
从eikonal方程我们看到它
以速度传播。假设向右传播，我们就这样做了
对于Hamilton-Jacobi方程，我们使用特征方法来解决它。乘以等式，我们得到
插入（15）和
，获得
这简化为
因此，我们看到它
在特征上是不变的。在另一方面，区分（15）中，我们看到
因此
也是不变的特征。我们看到这
是不变的特征，导致比例关系
给出（2）。
源码
-
%Steven
McHale
-
%Tsunami
Model
-
%Shallow-Water
Wave
Equation
-
%Crank-Nicholson
Discretization
-
-
clear;
-
clf;
-
clc;
-
-
%
Constants
-
g
=
9.81
;
-
u0
=
0
;
-
v0
=
0
;
-
b
=
0
;
-
h0
=
5030
;
-
-
%
Define
the
x
domain
-
ni
=
151
;
-
xmax
=
100000
;
-
dx
=
xmax/(ni-1);
-
x
= [
0
:dx:xmax]
;
-
-
%
Define
the
y
domain
-
nj
=
151
;
-
ymax
=
100000
;
-
dy
=
ymax/(nj-1);
-
y
= [
0
:dy:ymax]
;
-
-
%
Define
the
wavespeed
-
wavespeed
=
u0
+
sqrt(g*(h0
-
b));
-
-
%
Define
time-domain
-
dt
=
0.68
*dx/wavespeed;
-
tmax
=
1500
;
-
%t
= [
0
:dt:tdomain]
;
-
t=[1:dt:tmax];
-
courant
=
wavespeed*dt/dx;
-
-
%
Build
empty
u,
v,
b
matrices
-
u=zeros(length(x),
length(y),
length(t));
-
v=zeros(length(x),
length(y),
length(t));
-
b=zeros(length(x),
length(y));
-
-
%
Define
h
-
h=zeros(length(x),
length(y),
length(t));
-
h(:,:,1)
=
5000
;
-
h((45000/100000*(length(x)-1)+1):floor(55000/100000*(length(x)-1)+1),(45000/100000*(length(y)-1)+1):floor(55000/100000*(length(y)-1)+1),1)
=
5030
;
-
-
%Define
b
-
for
i
=
1
:length(x)
-
if
x(i)
>
20001
-
b(:,i)
=
0
;
-
elseif
x(i)
<
20000
-
b(:,i)
=
5000
/20000*(20000-x(i));
-
end
-
end
-
-
%
Employ
Lax
-
for
n=1:(length(t)-1)
-
for
i=2:(ni-1)
-
for
j=2:(nj-1)
-
u(i,j,n+1)
=
((u(i+1,j,n)
+
u(i-1,j,n)
+
u(i,j+1,n)
+
u(i,j-1,n))/4)...
-
-
0.5
*(dt/dx)*((u(i+1,j,n)^2)/2
-
(u(i-1,j,n)^2)/2)...
-
-
0.5
*(dt/dy)*(v(i,j,n))*(u(i,j+1,n)
-
u(i,j-1,n))
-
0.5
*g*(dt/dx)*(h(i+1,j,n)-h(i-1,j,n));
-
-
v(i,j,n+1)
=
((v(i+1,j,n)
+
v(i-1,j,n)
+
v(i,j+1,n)
+
v(i,j-1,n))/4)...
-
-
0.5
*(dt/dy)*((v(i,j+1,n)^2)/2
-
(v(i,j+1,n)^2)/2)...
-
-
0.5
*(dt/dx)*(u(i,j,n))*(v(i+1,j,n)
-
v(i-1,j,n))
-
0.5
*g*(dt/dy)*(h(i,j+1,n)-h(i,j-1,n));
-
-
h(i,j,n+1)
=
((h(i+1,j,n)
+
h(i-1,j,n)
+
h(i,j+1,n)
+
h(i,j-1,n))/4)...
-
-
0.5
*(dt/dx)*(u(i,j,n))*((h(i+1,j,n)-b(i+1,j))
-
(h(i-1,j,n)-b(i-1,j)))...
-
-
0.5
*(dt/dy)*(v(i,j,n))*((h(i,j+1,n)-b(i,j+1))
-
(h(i,j-1,n)-b(i,j-1)))...
-
-
0.5
*(dt/dx)*(h(i,j,n)-b(i,j))*(u(i+1,j,n)-
u(i-1,j,n))...
-
-
0.5
*(dt/dy)*(h(i,j,n)-b(i,j))*(v(i,j+1,n)
-
v(i,j-1,n));
-
-
end
-
end
-
-
%
Define
Boundary
Conditions
-
u(1,:,n+1)
=
2.5
*u(2,:,n+1)
-
2
*u(3,:,n+1)
+
0.5
*u(4,:,n+1);
-
u(length(x),:,n+1)
=
2.5
*u(ni-1,:,n+1)
-
2
*u(ni-2,:,n+1)
+
0.5
*u(ni-3,:,n+1);
-
u(:,1,n+1)
=
2.5
*u(:,2,n+1)
-
2
*u(:,3,n+1)
+
0.5
*u(:,4,n+1);
-
u(:,length(y),n+1)
=
2.5
*u(:,nj-1,n+1)
-
2
*u(:,nj-2,n+1)
+
0.5
*u(:,nj-3,n+1);
-
-
v(1,:,n+1)
=
2.5
*v(2,:,n+1)
-
2
*v(3,:,n+1)
+
0.5
*v(4,:,n+1);
-
v(length(x),:,n+1)
=
2.5
*v(ni-1,:,n+1)
-
2
*v(ni-2,:,n+1)
+
0.5
*v(ni-3,:,n+1);
-
v(:,1,n+1)
=
2.5
*v(:,2,n+1)
-
2
*v(:,3,n+1)
+
0.5
*v(:,4,n+1);
-
v(:,length(y),n+1)
=
2.5
*v(:,nj-1,n+1)
-
2
*v(:,nj-2,n+1)
+
0.5
*v(:,nj-3,n+1);
-
-
h(1,:,n+1)
=
2.5
*h(2,:,n+1)
-
2
*h(3,:,n+1)
+
0.5
*h(4,:,n+1);
-
h(length(x),:,n+1)
=
2.5
*h(ni-1,:,n+1)
-
2
*h(ni-2,:,n+1)
+
0.5
*h(ni-3,:,n+1);
-
h(:,1,n+1)
=
2.5
*h(:,2,n+1)
-
2
*h(:,3,n+1)
+
0.5
*h(:,4,n+1);
-
h(:,length(y),n+1)
=
2.5
*h(:,nj-1,n+1)
-
2
*h(:,nj-2,n+1)
+
0.5
*h(:,nj-3,n+1);
-
-
end
-
-
figure(1)
-
-
%Animation
of
H
wave
propogating
-
for
index=1:length(t)
-
mesh(x,y,h(:,:,index))
-
axis
([0
100000
0
100000
4990
5010
])
-
title
('AERSP
423
Computer
Project
Part
II')
-
xlabel('X
Domain [
m]
')
-
ylabel('
Y
Domain [
m]
')
-
zlabel('
Height [
m]
')
-
pause(0.02)
-
end
-
转载：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/113879482