R语言多元逐步回归模型分析房价和葡萄酒价格：选择最合适的预测变量

原文链接：http://tecdat.cn/?p=19405 

包含更多的预测变量不是免费的：在系数估算的更多可变性，更难的解释以及可能包含高度依赖的预测变量方面要付出代价。确实，  对于样本大小，在线性模型中可以考虑 的预测变量最大数量为 p 。或等效地，使用预测变量p 拟合模型需要最小样本量。

如果我们考虑p = 1 和 p = 2 的几何，这一事实的解释很简单：

• 如果p = 1，则至少需要n = 2个点才能唯一地拟合一条线。但是，这条线没有给出关于其周围变化的信息，因此无法估计。因此，我们至少需要个点，换句话说就是。
• 如果p = 2 ，则至少需要n = 3个点才能唯一地拟合平面。但是同样，该平面没有提供有关其周围数据变化的信息，因此无法估计。因此，我们需要。

下一部分代码的输出阐明了和之间的区别。

  

   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      # 数据：n个观测值，p = n-1个预测变量
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      n <- 
      5
     
    
   

    

     

    
    

     

      p <- n - 
      1
     
    
   

    

     

    
    

     

      df <- 
      data.frame(y = rnorm(n), x = matrix(rnorm(n * p), nrow = n, ncol = p))
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      # 情况p = n-1 = 2：可以估计beta，但不能估计sigma ^ 2（因此，不能执行推断，因为它需要估计的sigma ^ 2）
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(lm(y ~ ., 
      data = df))
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      # 情况p = n-2 = 1：可以估计beta和sigma ^ 2（因此可以进行推断）
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(lm(y ~ . - x
      .1, 
      data = df))
     
    
  

当减小时，自由度量化的变异性的增加。

 

 

既然我们已经更多地了解了预测变量过多的问题，我们将重点放在  为多元回归模型选择最合适的预测变量上。如果没有独特的解决方案，这将是一项艰巨的任务。但是，有一个行之有效的程序通常会产生良好的结果： 逐步模型选择。其原理是 依次比较具有不同预测变量的多个线性回归模型。

在介绍该方法之前，我们需要了解什么是 信息准则。信息标准在模型的适用性与采用的预测变量数量之间取得平衡。两个常见标准是 贝叶斯信息标准 （BIC）和 赤池信息标准 （AIC）。两者都基于 模型适用性和复杂性之间的平衡：

其中是模型的对 数似然度 （模型拟合数据的程度），而是考虑的参数数量在模型中，对于具有p个预测变量的多元线性回归模型，则为p + 2。AIC在用替换了，  因此，与BIC相比，它对 较复杂的模型的处罚较少。这就是为什么一些从业者更喜欢BIC进行模型比较的原因之一。BIC和AIC可以通过BIC 和 计算 AIC。

我们使用地区房价数据，变量介绍：

（1）town：每一个人口普查区所在的城镇

（2）LON: 人口普查区中心的经度

（3）LAT: 人口普查区中心的纬度

（4）MEDV: 每一个人口普查区所对应的房子价值的中位数 (单位为$1000)

（5）CRIM: 人均犯罪率

（6）ZN: 土地中有多少是地区是大量住宅物业

（7）INDUS: 区域中用作工业用途的土地占比

（8）CHAS: 1：该人口普查区紧邻查尔斯河；0： 该人口普查区没有紧邻查尔斯河

（9）NOX: 空气中氮氧化物的集中度 (衡量空气污染的指标)

（10）RM: 每个房子的平均房间数目

（11）AGE: 建于1940年以前的房子的比例

（12）DIS: 该人口普查区距离波士顿市中心的距离

（13）RAD: 距离重要高速路的远近程度 (1代表最近；24代表最远)

（14）TAX: 房子每$10,000价值所对应的税收金额

（15）PTRATIO: 该城镇学生与老师的比例

 

他们将作为模型输入。

  

   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       具有不同预测变量的两个模型
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      mod1 <- lm(medv ~ age + crim, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      mod2 <- lm(medv ~ age + crim + lstat, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       BICs
     
    
   

    

     

    
    

     

      BIC(mod1)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 3581.893
     
    
   

    

     

    
    

     

      BIC(mod2) # 较小->较好
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 3300.841
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       AICs
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(mod1)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 3564.987
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(mod2) # 较小->较好
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 3279.708
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       检查摘要
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -13.940 -4.991 -2.420 2.110 32.033 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 29.80067 0.97078 30.698 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # age -0.08955 0.01378 -6.499 1.95e-10 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -0.31182 0.04510 -6.914 1.43e-11 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 8.157 on 503 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.2166, Adjusted R-squared: 0.2134 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 69.52 on 2 and 503 DF, p-value: < 2.2e-16
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(mod2)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = medv ~ age + crim + lstat, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -16.133 -3.848 -1.380 1.970 23.644 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 32.82804 0.74774 43.903 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # age 0.03765 0.01225 3.074 0.00223 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -0.08262 0.03594 -2.299 0.02193 * 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lstat -0.99409 0.05075 -19.587 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 6.147 on 502 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.5559, Adjusted R-squared: 0.5533 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 209.5 on 3 and 502 DF, p-value: < 2.2e-16
     
    
  

让我们回到预测变量的选择。如果我们有p个预测变量，那么一个简单的过程就是检查 所有 可用它们构建的可能模型，然后根据BIC / AIC选择最佳模型。这就是所谓的 最佳子集选择。问题在于存在个可能的模型！
让我们看看如何研究 wine 数据集，将使用所有可用预测变量的数据作为初始模型。

波尔多是法国的葡萄酒产区。尽管这种酒的生产方式几乎相同，但已有数百年历史，但每年的价格和质量差异有时非常显着。人们普遍认为波尔多葡萄酒陈年越老越好，因此有动力去储存葡萄酒直至成熟。主要问题在于，仅通过品尝就很难确定葡萄酒的质量，因为在实际饮用时，味道会发生很大变化。这就是为什么葡萄酒品尝师和专家会有所帮助的原因。他们品尝葡萄酒，然后预测以后将是最好的葡萄酒。
1990年3月4日，《纽约时报》宣布普林斯顿大学经济学教授奥利·阿森费尔特（Orley Ashenfelter）可以预测波尔多葡萄酒的质量而无需品尝一滴。 Ashenfelter使用了一种称为线性回归的方法。该方法预测结果变量或因变量。作为自变量，他使用了酒的年份（因此，较老的酒会更昂贵）和与天气有关的信息，特别是平均生长季节温度，收成雨和冬雨。

stepAIC 将参数 k 设为2 （默认值）或，其中n是样本大小。k = 2 它采用AIC准则， k = log(n) 它采用BIC准则。

  

   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       完整模型
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       用 BIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-53.29
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + Age + FrancePop
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.29
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + FrancePop
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - FrancePop 1 0.0026 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.0048 1.8080 -56.519
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4585 2.2617 -50.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8063 3.6095 -37.852
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.3756 5.1788 -28.105
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-56.55
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4809 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9089 2.7147 -48.840
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8760 3.6818 -40.612
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4428 5.2486 -31.039
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(modBIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wine)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -0.46024 -0.23862 0.01347 0.18601 0.53443 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 43.6390418 14.6939240 2.970 0.00707 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Year -0.0238480 0.0071667 -3.328 0.00305 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # WinterRain 0.0011667 0.0004820 2.420 0.02421 * 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # AGST 0.6163916 0.0951747 6.476 1.63e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # HarvestRain -0.0038606 0.0008075 -4.781 8.97e-05 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 0.2865 on 22 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.8275, Adjusted R-squared: 0.7962 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 26.39 on 4 and 22 DF, p-value: 4.057e-08
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       用 AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-61.07
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + Age + FrancePop
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-61.07
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + FrancePop
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - FrancePop 1 0.0026 1.8058 -63.031
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.0048 1.8080 -62.998
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8032 -61.070
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4585 2.2617 -56.952
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8063 3.6095 -44.331
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.3756 5.1788 -34.584
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-63.03
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8058 -63.031
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4809 2.2867 -58.656
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9089 2.7147 -54.023
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8760 3.6818 -45.796
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4428 5.2486 -36.222
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(modAIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wine)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -0.46024 -0.23862 0.01347 0.18601 0.53443 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 43.6390418 14.6939240 2.970 0.00707 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Year -0.0238480 0.0071667 -3.328 0.00305 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # WinterRain 0.0011667 0.0004820 2.420 0.02421 * 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # AGST 0.6163916 0.0951747 6.476 1.63e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # HarvestRain -0.0038606 0.0008075 -4.781 8.97e-05 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 0.2865 on 22 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.8275, Adjusted R-squared: 0.7962 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 26.39 on 4 and 22 DF, p-value: 4.057e-08
     
    
  

接下来是stepAIC 对执行情况的解释 。在每个步骤中， stepAIC 显示有关信息标准当前值的信息。例如，对于 modBIC，第一步的BIC是Step: AIC=-53.29 ，然后在第二步进行 了改进 Step: AIC=-56.55 （即使使用“ BIC”，该功能也会始终输出“ AIC”）。下一个继续前进的模型是stepAIC 通过研究添加或删除预测变量后得出的不同模型的信息标准来决定的 （取决于 direction 参数，在下文中进行解释）。例如modBIC在第一步中，删除导致的模型 FrancePop 的BIC等于 -56.551，如果 Year 删除，则BIC将为 -56.519。逐步回归，然后删除 FrancePop （因为它给出了最低的BIC），然后重复此过程，最终导致删除 <none> 预测变量是可能的最佳操作。下面的代码块说明了stepsAIC的输出 extractAIC，和BIC / AIC的输出BIC/ AIC。

  

   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       相同的BIC，标准不同
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modBIC, k = log(n))
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] -56.55135
     
    
   

    

     

    
    

     

      BIC(modBIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 23.36717
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       观察到MASS :: stepAIC（mod，k = log（nrow（wine）））返回的最终BIC是由extractAIC（）而不是BIC（）给出的！但是两者是等效的 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       相同的AIC，标准不同
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modBIC, k = 2)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] -63.03053
     
    
   

    

     

    
    

     

      BIC(modBIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 23.36717
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      BIC(modBIC) - AIC(modBIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 79.91852
     
    
   

    

     

    
    

     

      n * (log(2 * pi+ 1) + log(n)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 79.91852
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      与AIC相同
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modAIC) - AIC(modAIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 78.62268
     
    
   

    

     

    
    

     

      n * (log(2 * pi + 1 + 2
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # [1] 78.62268
     
    
  

请注意，所选模型 modBIC 和 modAIC 等效于 modWine2 ，我们选择的最佳模型。这说明，选择的模型 stepAIC 通常是进一步添加或删除预测变量的良好起点。

使用 stepAIC BIC / AIC时，可能会选择不同的最终模型 direction。这是解释：

• “backward”：  从给定模型中顺序删除预测变量。
• “forward”： 将 预测变量顺序添加到给定模型中。
• “both” （默认）：以上的组合。

该 建议 是尝试几种这些方法并保留一个最小的BIC / AIC。设置 trace = 0 为省略冗长的搜索过程信息输出。下面的代码块清楚地说明了如何使用 数据集的修改版本 来利用 direction 参数和的其他选项 。stepAICwinedirection = "forward"direction = "both"scope

  

   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       将无关的预测变量添加到葡萄酒数据集中
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       向后选择：从给定模型中顺序删除预测变量
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       从具有所有预测变量的模型开始
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      modAll, direction = "backward", k = log(n)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-50.13
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + Age + FrancePop + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-50.13
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + FrancePop + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - FrancePop 1 0.0036 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.0038 1.7979 -53.374
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0090 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.7941 -50.135
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4598 2.2539 -47.271
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.7666 3.5607 -34.923
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.3658 5.1599 -24.908
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0081 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4771 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9162 2.7139 -45.552
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8449 3.6426 -37.606
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4234 5.2212 -27.885
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-56.55
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4809 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9089 2.7147 -48.840
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8760 3.6818 -40.612
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4428 5.2486 -31.039
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) Year WinterRain AGST HarvestRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 43.639042 -0.023848 0.001167 0.616392 -0.003861
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       从中间模型开始
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modInter, direction = "backward", k = log(n)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-32.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0146 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 4.9936 -32.384
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.7522 5.7459 -31.891
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.2211 8.2147 -22.240
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-35.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + AGST
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.7966 5.8049 -34.911
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.2426 8.2509 -25.417
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + AGST, data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) Year AGST 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 41.49441 -0.02221 0.56067
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       回想一下，在搜索过程中未探索未包含在modInter中的其他预测变量（因此未添加相关的预测变量HarvestRain）
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       正向选择：从给定模型顺序添加预测变量
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       从没有预测变量的模型开始，仅截距模型（表示为〜1）
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modZero, direction = "forward"
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-22.28
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + AGST 1 4.6655 5.8049 -34.911
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + HarvestRain 1 2.6933 7.7770 -27.014
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 2.4231 8.0472 -26.092
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Year 1 2.2195 8.2509 -25.417
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Age 1 2.2195 8.2509 -25.417
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 10.4703 -22.281
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.1905 10.2798 -19.481
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.1761 10.2942 -19.443
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-34.91
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ AGST
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + HarvestRain 1 2.50659 3.2983 -46.878
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 1.42392 4.3809 -39.214
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.90263 4.9022 -36.178
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Year 1 0.79662 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Age 1 0.79662 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 5.8049 -34.911
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.05900 5.7459 -31.891
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-46.88
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 1.03572 2.2625 -53.759
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Year 1 1.01159 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Age 1 1.01159 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.58356 2.7147 -48.840
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 3.2983 -46.878
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.06084 3.2374 -44.085
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.76
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ AGST + HarvestRain + FrancePop
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.45456 1.8080 -56.519
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 2.2625 -53.759
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.00829 2.2542 -50.562
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Age 1 0.00085 2.2617 -50.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Year 1 0.00085 2.2617 -50.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-56.52
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ AGST + HarvestRain + FrancePop + WinterRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8080 -56.519
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.0100635 1.7979 -53.374
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Year 1 0.0048039 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + Age 1 0.0048039 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ AGST + HarvestRain + FrancePop + WinterRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) AGST HarvestRain FrancePop WinterRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -5.945e-01 6.127e-01 -3.804e-03 -5.189e-05 1.136e-03
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       在进行正向搜索时，充分设置范围参数非常重要！在范围中，您必须定义包含可探索模型集的“最小”（下部）和“最大”（上部）模型。如果未提供，则将最大模型用作传递的起始模型（在这种情况下为modZero），而stepAIC将不执行任何搜索
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      从中间模型开始
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-32.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + HarvestRain 1 2.71878 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 1.35102 3.6426 -37.606
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 4.9936 -32.384
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.24004 4.7536 -30.418
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-50.32
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.47710 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.02094 2.2539 -47.271
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST + HarvestRain + WinterRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.0036037 1.7941 -50.135
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ noisePredictor + Year + AGST + HarvestRain + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # WinterRain, data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) noisePredictor Year AGST HarvestRain WinterRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 44.096639 -0.019617 -0.024126 0.620522 -0.003840 ＃回想一下，在搜索期间不会删除modInter中包含的预测变量（因此会保留无关的noisePredictor）
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      ＃两种选择：如果从中间模型开始，则很有用
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      ＃消除了与从中间模型完成的“向后”和“向前”搜索相关的问题
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-32.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + HarvestRain 1 2.7188 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 1.3510 3.6426 -37.606
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0146 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 4.9936 -32.384
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.7522 5.7459 -31.891
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.2400 4.7536 -30.418
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.2211 8.2147 -22.240
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-50.32
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ noisePredictor + Year + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.01182 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.47710 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.02094 2.2539 -47.271
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.96258 3.2374 -44.085
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 2.71878 4.9936 -32.384
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 2.94647 5.2213 -31.180
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.47
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + WinterRain 1 0.48087 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.02497 2.2617 -50.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.01182 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 1.01159 3.2983 -46.878
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 2.72157 5.0082 -35.601
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 2.96500 5.2517 -34.319
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-56.55
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + AGST + HarvestRain + WinterRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4809 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.0081 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.0026 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9089 2.7147 -48.840
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8760 3.6818 -40.612
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4428 5.2486 -31.039
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + AGST + HarvestRain + WinterRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) Year AGST HarvestRain WinterRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 43.639042 -0.023848 0.616392 -0.003861 0.001167
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       正确定义范围也很重要，因为“两个”都求助于“前进”（以及“后退”）
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      使用完整模型中的默认值实质上会进行向后选择，但允许已删除的预测变量在以后的步骤中再次输入
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modAll direction = "both", k = log(n)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=-50.13
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + Age + FrancePop + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-50.13
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + FrancePop + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - FrancePop 1 0.0036 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.0038 1.7979 -53.374
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0090 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.7941 -50.135
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4598 2.2539 -47.271
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.7666 3.5607 -34.923
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.3658 5.1599 -24.908
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-53.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain + noisePredictor
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - noisePredictor 1 0.0081 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4771 2.2748 -50.317
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.0036 1.7941 -50.135
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9162 2.7139 -45.552
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8449 3.6426 -37.606
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4234 5.2212 -27.885
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=-56.55
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 1.8058 -56.551
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - WinterRain 1 0.4809 2.2867 -53.473
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + noisePredictor 1 0.0081 1.7977 -53.376
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # + FrancePop 1 0.0026 1.8032 -53.295
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - Year 1 0.9089 2.7147 -48.840
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - HarvestRain 1 1.8760 3.6818 -40.612
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - AGST 1 3.4428 5.2486 -31.039
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) Year WinterRain AGST HarvestRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 43.639042 -0.023848 0.001167 0.616392 -0.003861
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       省略冗长的输出
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modAll, direction = "both", trace = 0
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = Price ~ Year + WinterRain + AGST + HarvestRain, 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # data = wineNoise)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) Year WinterRain AGST HarvestRain 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 43.639042 -0.023848 0.001167 0.616392 -0.003861
     
    
  

对Boston 数据集运行逐步选择 ，目的是清楚地了解不同的搜索方向。特别：

• "forward" 从 逐步拟合 medv ~ 1开始做。
• "forward" 从 逐步拟合 medv ~ crim + lstat + age开始做。
• "both" 从 逐步拟合 medv ~ crim + lstat + age开始做。
• "both" 从逐步拟合 medv ~ .开始做。
• "backward" 从逐步拟合 medv ~ .开始做。

stepAIC 假定数据中不存在 NA（缺失值）。建议先删除数据中的缺失值。它们的存在可能会导致错误。为此，请使用 data = na.omit(dataset) 调用 lm （如果您的数据集为 dataset）。

我们通过强调使用BIC和AIC得出结论：它们的构造是假设样本大小n 远大于模型中参数的数量p + 2。因此，如果n >> p + 2 ，它们将工作得相当好，但是如果不是这样，则它们可能会支持不切实际的复杂模型。下图对此现象进行了说明。BIC和AIC曲线倾向于使局部最小值接近p = 2，然后增加。但是当p + 2 接近n 时，它们会迅速下降。

 

图：n = 200和p从1 到198 的BIC和AIC的比较。M = 100数据集仅在前两个 预测变量有效的情况下进行了模拟 。较粗的曲线是每种颜色曲线的平均值。

房价案例研究应用

我们要建立一个线性模型进行预测和解释 medv。有大量的预测模型，其中一些可能对预测medv没什么用 。但是，目前尚不清楚哪个预测变量可以更好地解释 medv 的信息。因此，我们可以对所有 预测变量进行线性模型处理 ：

  

   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(modHouse)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -15.595 -2.730 -0.518 1.777 26.199 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 3.646e+01 5.103e+00 7.144 3.28e-12 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -1.080e-01 3.286e-02 -3.287 0.001087 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # zn 4.642e-02 1.373e-02 3.382 0.000778 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # indus 2.056e-02 6.150e-02 0.334 0.738288 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # chas 2.687e+00 8.616e-01 3.118 0.001925 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # nox -1.777e+01 3.820e+00 -4.651 4.25e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rm 3.810e+00 4.179e-01 9.116 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # age 6.922e-04 1.321e-02 0.052 0.958229 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # dis -1.476e+00 1.995e-01 -7.398 6.01e-13 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rad 3.060e-01 6.635e-02 4.613 5.07e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax -1.233e-02 3.760e-03 -3.280 0.001112 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ptratio -9.527e-01 1.308e-01 -7.283 1.31e-12 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # black 9.312e-03 2.686e-03 3.467 0.000573 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lstat -5.248e-01 5.072e-02 -10.347 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 4.745 on 492 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.7406, Adjusted R-squared: 0.7338 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 108.1 on 13 and 492 DF, p-value: < 2.2e-16
     
    
  

有几个不重要的变量，但是到目前为止，该模型具有R ^ 2 = 0.74，并且拟合系数对预期的结果很敏感。例如 crim，  tax，  ptratio，和 nox 对medv有负面影响 ，同时 rm， rad和 chas 有正面的影响。但是，不重要的系数不会显着影响模型，而只会增加噪声并降低系数估计的总体准确性。让我们稍微完善一下以前的模型。

  

   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       最佳模型
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      AIC(modHouse, k = log(nrow(Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Start: AIC=1648.81
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + age + dis + rad + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax + ptratio + black + lstat
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - age 1 0.06 11079 1642.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - indus 1 2.52 11081 1642.7
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 11079 1648.8
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - chas 1 218.97 11298 1652.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - tax 1 242.26 11321 1653.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - crim 1 243.22 11322 1653.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - zn 1 257.49 11336 1654.2
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - black 1 270.63 11349 1654.8
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rad 1 479.15 11558 1664.0
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - nox 1 487.16 11566 1664.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - ptratio 1 1194.23 12273 1694.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - dis 1 1232.41 12311 1696.0
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rm 1 1871.32 12950 1721.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - lstat 1 2410.84 13490 1742.2
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=1642.59
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # medv ~ crim + zn + indus + chas + nox + rm + dis + rad + tax + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ptratio + black + lstat
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - indus 1 2.52 11081 1636.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 11079 1642.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - chas 1 219.91 11299 1646.3
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - tax 1 242.24 11321 1647.3
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - crim 1 243.20 11322 1647.3
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - zn 1 260.32 11339 1648.1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - black 1 272.26 11351 1648.7
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rad 1 481.09 11560 1657.9
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - nox 1 520.87 11600 1659.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - ptratio 1 1200.23 12279 1688.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - dis 1 1352.26 12431 1694.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rm 1 1959.55 13038 1718.8
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - lstat 1 2718.88 13798 1747.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Step: AIC=1636.48
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # medv ~ crim + zn + chas + nox + rm + dis + rad + tax + ptratio + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # black + lstat
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Df Sum of Sq RSS AIC
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # <none> 11081 1636.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - chas 1 227.21 11309 1640.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - crim 1 245.37 11327 1641.3
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - zn 1 257.82 11339 1641.9
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - black 1 270.82 11352 1642.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - tax 1 273.62 11355 1642.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rad 1 500.92 11582 1652.6
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - nox 1 541.91 11623 1654.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - ptratio 1 1206.45 12288 1682.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - dis 1 1448.94 12530 1692.4
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - rm 1 1963.66 13045 1712.8
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # - lstat 1 2723.48 13805 1741.5
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       模型比较
     
    
   

    

     

    
    

     

      compare(modBIC, modAIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Calls:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 1: lm(formula = medv ~ crim + zn + chas + nox + rm + dis + rad + tax + ptratio + black + lstat, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 2: lm(formula = medv ~ crim + zn + chas + nox + rm + dis + rad + tax + ptratio + black + lstat, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Model 1 Model 2
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 36.34 36.34
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 5.07 5.07
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -0.1084 -0.1084
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.0328 0.0328
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # zn 0.0458 0.0458
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.0135 0.0135
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # chas 2.719 2.719
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.854 0.854
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # nox -17.38 -17.38
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 3.54 3.54
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rm 3.802 3.802
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.406 0.406
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # dis -1.493 -1.493
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.186 0.186
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rad 0.2996 0.2996
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.0634 0.0634
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax -0.01178 -0.01178
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.00337 0.00337
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ptratio -0.947 -0.947
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.129 0.129
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # black 0.00929 0.00929
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.00267 0.00267
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lstat -0.5226 -0.5226
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # SE 0.0474 0.0474
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      summary(modBIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Call:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lm(formula = medv ~ crim + zn + chas + nox + rm + dis + rad + 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax + ptratio + black + lstat, data = Boston)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residuals:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Min 1Q Median 3Q Max 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # -15.5984 -2.7386 -0.5046 1.7273 26.2373 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Coefficients:
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 36.341145 5.067492 7.171 2.73e-12 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -0.108413 0.032779 -3.307 0.001010 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # zn 0.045845 0.013523 3.390 0.000754 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # chas 2.718716 0.854240 3.183 0.001551 ** 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # nox -17.376023 3.535243 -4.915 1.21e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rm 3.801579 0.406316 9.356 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # dis -1.492711 0.185731 -8.037 6.84e-15 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rad 0.299608 0.063402 4.726 3.00e-06 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax -0.011778 0.003372 -3.493 0.000521 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ptratio -0.946525 0.129066 -7.334 9.24e-13 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # black 0.009291 0.002674 3.475 0.000557 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lstat -0.522553 0.047424 -11.019 < 2e-16 ***
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ---
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Residual standard error: 4.736 on 494 degrees of freedom
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # Multiple R-squared: 0.7406, Adjusted R-squared: 0.7348 
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # F-statistic: 128.2 on 11 and 494 DF, p-value: < 2.2e-16
     
    
   

    

     

    
    

     

      
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
       置信区间
     
    
   

    

     

    
    

     
 
     
    
   

    

     

    
    

     

      conf(modBIC)
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # 2.5 % 97.5 %
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # (Intercept) 26.384649126 46.29764088
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # crim -0.172817670 -0.04400902
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # zn 0.019275889 0.07241397
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # chas 1.040324913 4.39710769
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # nox -24.321990312 -10.43005655
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rm 3.003258393 4.59989929
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # dis -1.857631161 -1.12779176
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # rad 0.175037411 0.42417950
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # tax -0.018403857 -0.00515209
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # ptratio -1.200109823 -0.69293932
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # black 0.004037216 0.01454447
     
    
   

    

     

    
    

     

      #
      # lstat -0.615731781 -0.42937513
     
    
  

请注意，相对于完整模型，略有增加，以及所有预测变量显着。

我们已经量化了预测变量对房价（Q1）的影响，可以得出结论，在最终模型（Q2）中，显着性水平为 ：

• chas，  age，  rad， black 对medv有 显著正面 的影响 ;
• nox，  dis，  tax，  ptratio， lstat 对medv有 显著负面 的影响。

检查：

• modBIC 不能通过消除预测指标来改善BIC。
• modBIC 无法通过添加预测变量来改进BIC。使用 addterm(modBIC, scope = lm(medv ~ ., data = Boston), k = log(nobs(modBIC))) 。 

---

1. 应用其公式，我们将获得，因此将不会定义。

2. 具有相同的因变量。

3. 如果是，则。

4. 同样，由于BIC 在选择真实的分布/回归模型时是 一致的：如果提供了足够的数据，则可以保证BIC在候选列表中选择真实的数据生成模型。如果真实模型包含在该列表中，则模型为线性模型。但是，由于实际模型可能是非线性的，因此在实践中这可能是不现实的。

---

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转载：https://blog.csdn.net/qq_19600291/article/details/105972025