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在引入copula时，大家普遍认为copula很有趣，因为它们允许分别对边缘分布和相依结构进行建模。
copula建模边缘和相依关系
给定一些边缘分布函数和一个copula，那么我们可以生成一个多元分布函数，其中的边缘是前面指定的。
考虑一个二元对数正态分布
-
-
> library(mnormt)
-
> set.seed(1)
-
> Z=exp(rmnorm(25,MU,SIGMA))
我们可以从边缘分布开始。
-
-
meanlog
sdlog
-
1
.168 0
.930
-
(0
.186 ) (0
.131 )
-
-
meanlog
sdlog
-
2
.218 1
.168
-
(0
.233 ) (0
.165 )
基于这些边缘分布，并考虑从该伪随机样本获得的copula参数的最大似然估计值，从数值上讲，我们得到
-
-
>
library(copula)
-
-
>
Copula()
estimation
based
on
'maximum likelihood'
-
and
a
sample
of
size
25
.
-
Estimate
Std.
Error
z
value
Pr(>|z|)
-
rho.1
0.86530
0.03799
22.77
但是，由于相依关系是边缘分布的函数，因此我们没有对相依关系进行单独处理。如果考虑全局优化问题，则结果会有所不同。可以得出密度
-
-
>
optim(par=c(0,0,1,1,0),fn=LogLik)$par
-
[
1]
1.165
2.215
0.923
1.161
0.864
差别不大，但估计量并不相同。从统计的角度来看，我们几乎无法分别处理边缘和相依结构。我们应该记住的另一点是，边际分布可能会错误指定。例如，如果我们假设指数分布，
-
-
fitdistr(
Z[,
1],
"exponential")
-
rate
-
0.222
-
(
0.044 )
-
fitdistr(
Z[,
2],
"exponential"
-
rate
-
0.065
-
(
0.013 )
高斯copula的参数估计
-
-
Copula()
estimation
based
on
'maximum likelihood'
-
and
a
sample
of
size
25
.
-
Estimate
Std.
Error
z
value
Pr(>|z|)
-
rho.1
0.87421
0.03617
24.17
<2e-16
***
-
---
-
Signif. codes:
0
'***'
0.001
'**'
0.01
'*'
0.05
'.'
0.1
' '
1
-
The
maximized
loglikelihood
is
15.4
-
Optimization
converged
由于我们错误地指定了边缘分布，因此我们无法获得统一的边缘。如果我们使用上述代码生成大小为500的样本，
-
-
barplot(counts, axes=
FALSE,col=
"light blue"
如果边缘分布被很好地设定时，我们可以清楚地看到相依结构依赖于边缘分布，
copula模拟股市中相关随机游走
接下来我们用copula函数模拟股市中的相关随机游走
-
#*****************************************************************
-
# 载入历史数据
-
#******************************************************************
-
-
load.packages(
'quantmod')
-
-
data
$YHOO = getSymbol.intraday.google(
'YHOO',
'NASDAQ', 60,
'15d')
-
data
$FB = getSymbol.intraday.google(
'FB',
'NASDAQ', 60,
'15d')
-
bt.prep(data, align=
'remove.na')
-
-
-
#*****************************************************************
-
# 生成模拟
-
#******************************************************************
-
-
rets = diff(
log(prices))
-
-
# 绘制价格
-
matplot(exp(apply(rets,2,cumsum)),
type=
'l')
-
# 可视化分布的辅助函数
-
-
# 检查Copula拟合的Helper函数
-
# 模拟图与实际图
-
-
plot(rets[,
1], rets[,
2], xlab=labs[
1], ylab=labs[
2], col='blue', las=
1)
-
points(fit.sim[,
1], fit.sim[,
2], col='red')
-
-
# 比较模拟和实际的统计数据
-
temp = matrix(
0,nr=
5,nc=
2)
-
-
print(round(
100*temp,
2))
-
-
# 检查收益率是否来自相同的分布
-
for (i in
1:
2) {
-
print(labs[i])
-
print(ks.test(rets[,i], fit.sim[i]))
-
-
-
# 绘制模拟价格路径
-
matplot(exp(apply(fit.sim,
2,cumsum)), type='l', main='Simulated Price path')
-
-
-
# 拟合Copula
-
load.packages('copula')
-
-
# 通过组合拟合边缘和拟合copula创建自定义分布
-
margins=c(
"norm",
"norm")
-
apply(rets,
2,
function(x) list(mean=mean(x), sd=sd(x)))
-
-
-
# 从拟合分布模拟
-
rMvdc(4800, fit)
-
-
Actual Simulated
-
Correlation
57.
13
57.
38
-
Mean FB -
0.
31 -
0.
47
-
Mean YHOO -
0.
40 -
0.
17
-
StDev FB
1.
24
1.
25
-
StDev YHOO
1.
23
1.
23
FB
-
Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
-
-
data: rets[, i] and fit.sim[i]
-
D = 0.9404, p-value = 0.3395
-
alternative hypothesis: two-sided
-
HO
-
Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
-
-
data: rets[, i] and fit.sim[i]
-
D = 0.8792, p-value = 0.4222
-
alternative hypothesis: two-sided
-
visualize.rets(fit.sim)
-
# qnorm(runif(10^8)) 和 rnorm(10^8) 是等价的
-
uniform.sim = rCopula(
4800, gumbelCopula(gumbel@estimate, dim=n))
-
-
Actual Simulated
-
Correlation
57.
13
57.
14
-
Mean FB -
0.
31 -
0.
22
-
Mean YHOO -
0.
40 -
0.
56
-
StDev FB
1.
24
1.
24
-
StDev YHOO
1.
23
1.
21
FB
-
Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
-
-
data: rets[, i] and fit.sim[i]
-
D = 0.7791, p-value = 0.5787
-
alternative hypothesis: two-sided
-
HO
-
Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
-
-
data: rets[, i] and fit.sim[i]
-
D = 0.795, p-value = 0.5525
-
alternative hypothesis: two-sided
-
vis(rets)
标准偏差相对于均值而言非常大，接近于零；因此，在某些情况下，我们很有可能获得不稳定的结果。
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