原文链接：http://tecdat.cn/?p=19469
本文将分析工业指数（DJIA）。工业指数（DIJA）是一个股市指数，表明30家大型上市公司的价值。工业指数（DIJA）的价值基于每个组成公司的每股股票价格之和。
本文将尝试回答的主要问题是：
- 这些年来收益率和交易量如何变化？
- 这些年来，收益率和交易量的波动如何变化？
- 我们如何建模收益率波动？
- 我们如何模拟交易量的波动？
为此，本文按以下内容划分：
第1部分： 获取每日和每周对数收益的 数据，摘要和图
第2部分：获取每日交易量及其对数比率的数据，摘要和图
第3部分： 每日对数收益率分析和GARCH模型定义
第4部分： 每日交易量分析和GARCH模型定义
获取数据
利用quantmod软件包中提供的getSymbols（）函数，我们可以获得2007年至2018年底的工业平均指数。
-
-
getSymbols(
"^DJI", from =
"2007-01-01",
to =
"2019-01-01")
-
-
-
dim(DJI)
-
-
## [
1]
3020
6
-
class(DJI)
-
-
## [
1]
"xts"
"zoo"
让我们看一下DJI xts对象，它提供了六个时间序列，我们可以看到。
-
-
head(
DJI)
-
-
##
DJI
.Open
DJI
.High
DJI
.Low
DJI
.Close
DJI
.Volume
DJI
.Adjusted
-
## 2007
-01-03 12459
.54 12580
.35 12404
.82 12474
.52 327200000 12474
.52
-
## 2007
-01-04 12473
.16 12510
.41 12403
.86 12480
.69 259060000 12480
.69
-
## 2007
-01-05 12480
.05 12480
.13 12365
.41 12398
.01 235220000 12398
.01
-
## 2007
-01-08 12392
.01 12445
.92 12337
.37 12423
.49 223500000 12423
.49
-
## 2007
-01-09 12424
.77 12466
.43 12369
.17 12416
.60 225190000 12416
.60
-
## 2007
-01-10 12417
.00 12451
.61 12355
.63 12442
.16 226570000 12442
.16
-
tail(
DJI)
-
-
##
DJI
.Open
DJI
.High
DJI
.Low
DJI
.Close
DJI
.Volume
DJI
.Adjusted
-
## 2018
-12-21 22871
.74 23254
.59 22396
.34 22445
.37 900510000 22445
.37
-
## 2018
-12-24 22317
.28 22339
.87 21792
.20 21792
.20 308420000 21792
.20
-
## 2018
-12-26 21857
.73 22878
.92 21712
.53 22878
.45 433080000 22878
.45
-
## 2018
-12-27 22629
.06 23138
.89 22267
.42 23138
.82 407940000 23138
.82
-
## 2018
-12-28 23213
.61 23381
.88 22981
.33 23062
.40 336510000 23062
.40
-
## 2018
-12-31 23153
.94 23333
.18 23118
.30 23327
.46 288830000 23327
.46
更准确地说，我们有可用的OHLC（开盘，高，低，收盘）指数值，调整后的收盘价和交易量。在这里，我们可以看到生成的相应图表。
我们在此分析调整后的收盘价。
DJI[,"DJI.Adjusted"]
简单对数收益率
简单的收益定义为：
对数收益率定义为：
我们计算对数收益率。
CalculateReturns(dj_close, method = "log")
让我们看看。
-
-
head(dj_ret)
-
-
#
# DJI.Adjusted
-
#
# 2007-01-04 0.0004945580
-
#
# 2007-01-05 -0.0066467273
-
#
# 2007-01-08 0.0020530973
-
#
# 2007-01-09 -0.0005547987
-
#
# 2007-01-10 0.0020564627
-
#
# 2007-01-11 0.0058356461
-
tail(dj_ret)
-
-
#
# DJI.Adjusted
-
#
# 2018-12-21 -0.018286825
-
#
# 2018-12-24 -0.029532247
-
#
# 2018-12-26 0.048643314
-
#
# 2018-12-27 0.011316355
-
#
# 2018-12-28 -0.003308137
-
#
# 2018-12-31 0.011427645
给出了下面的图。
可以看到波动率的急剧上升和下降。第3部分将对此进行深入验证。
辅助函数
我们需要一些辅助函数来简化一些基本的数据转换，摘要和绘图。
1.从xts转换为带有year and value列的数据框。这样就可以进行年度总结和绘制。
-
-
df_t <-
data.frame(year = factor(year(index(data_xts))), value = coredata(data_xts))
-
colnames(df_t) <- c(
"year",
"value")
-
2.摘要统计信息，用于存储为数据框列的数据。
-
rownames(basicStats(rnorm(10,0,1)))
# 基本统计数据输出行名称
-
with(dataset, tapply(
value,
year, basicStats))
3.返回关联的列名。
-
-
colnames(
basicstats[r, which(
basicstats[r,] > threshold), drop = FALSE])
4.基于年的面板箱线图。
-
-
p <- ggplot(
data = data, aes(
x = year, y = value)) + theme_bw() + theme(
legend.position =
"none") + geom_boxplot(
fill =
"blue")
5.密度图，以年份为基准。
-
-
p <- ggplot(
data = data, aes(
x = value)) + geom_density(
fill =
"lightblue")
-
p <- p + facet_wrap(. ~ year)
-
6.基于年份的QQ图。
-
-
p <- ggplot(
data = dataset, aes(
sample = value)) + stat_qq(
colour =
"blue") + stat_qq_line()
-
p <- p + facet_wrap(. ~ year)
-
7. Shapiro检验
-
pvalue <-
function (v) {
-
shapiro.test(v)$p.value
-
}
每日对数收益率探索性分析
我们将原始的时间序列转换为具有年和值列的数据框。这样可以按年简化绘图和摘要。
-
-
head(ret_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 1 2007 0.0004945580
-
#
# 2 2007 -0.0066467273
-
#
# 3 2007 0.0020530973
-
#
# 4 2007 -0.0005547987
-
#
# 5 2007 0.0020564627
-
#
# 6 2007 0.0058356461
-
tail(ret_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 3014 2018 -0.018286825
-
#
# 3015 2018 -0.029532247
-
#
# 3016 2018 0.048643314
-
#
# 3017 2018 0.011316355
-
#
# 3018 2018 -0.003308137
-
#
# 3019 2018 0.011427645
基本统计摘要
给出了基本统计摘要。
-
-
-
## 2007 2008 2009 2010 2011
-
##
nobs 250
.000000 253
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.033488
-0
.082005
-0
.047286
-0
.036700
-0
.057061
-
##
Maximum 0
.025223 0
.105083 0
.066116 0
.038247 0
.041533
-
## 1.
Quartile
-0
.003802
-0
.012993
-0
.006897
-0
.003853
-0
.006193
-
## 3.
Quartile 0
.005230 0
.007843 0
.008248 0
.004457 0
.006531
-
##
Mean 0
.000246
-0
.001633 0
.000684 0
.000415 0
.000214
-
##
Median 0
.001098
-0
.000890 0
.001082 0
.000681 0
.000941
-
##
Sum 0
.061427
-0
.413050 0
.172434 0
.104565 0
.053810
-
##
SE
Mean 0
.000582 0
.001497 0
.000960 0
.000641 0
.000837
-
##
LCL
Mean
-0
.000900
-0
.004580
-0
.001207
-0
.000848
-0
.001434
-
##
UCL
Mean 0
.001391 0
.001315 0
.002575 0
.001678 0
.001861
-
##
Variance 0
.000085 0
.000567 0
.000232 0
.000104 0
.000176
-
##
Stdev 0
.009197 0
.023808 0
.015242 0
.010182 0
.013283
-
##
Skewness
-0
.613828 0
.224042 0
.070840
-0
.174816
-0
.526083
-
##
Kurtosis 1
.525069 3
.670796 2
.074240 2
.055407 2
.453822
-
## 2012 2013 2014 2015 2016
-
##
nobs 250
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.023910
-0
.023695
-0
.020988
-0
.036402
-0
.034473
-
##
Maximum 0
.023376 0
.023263 0
.023982 0
.038755 0
.024384
-
## 1.
Quartile
-0
.003896
-0
.002812
-0
.002621
-0
.005283
-0
.002845
-
## 3.
Quartile 0
.004924 0
.004750 0
.004230 0
.005801 0
.004311
-
##
Mean 0
.000280 0
.000933 0
.000288
-0
.000090 0
.000500
-
##
Median
-0
.000122 0
.001158 0
.000728
-0
.000211 0
.000738
-
##
Sum 0
.070054 0
.235068 0
.072498
-0
.022586 0
.125884
-
##
SE
Mean 0
.000470 0
.000403 0
.000432 0
.000613 0
.000501
-
##
LCL
Mean
-0
.000645 0
.000139
-0
.000564
-0
.001298
-0
.000487
-
##
UCL
Mean 0
.001206 0
.001727 0
.001139 0
.001118 0
.001486
-
##
Variance 0
.000055 0
.000041 0
.000047 0
.000095 0
.000063
-
##
Stdev 0
.007429 0
.006399 0
.006861 0
.009738 0
.007951
-
##
Skewness 0
.027235
-0
.199407
-0
.332766
-0
.127788
-0
.449311
-
##
Kurtosis 0
.842890 1
.275821 1
.073234 1
.394268 2
.079671
-
## 2017 2018
-
##
nobs 251
.000000 251
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.017930
-0
.047143
-
##
Maximum 0
.014468 0
.048643
-
## 1.
Quartile
-0
.001404
-0
.005017
-
## 3.
Quartile 0
.003054 0
.005895
-
##
Mean 0
.000892
-0
.000231
-
##
Median 0
.000655 0
.000695
-
##
Sum 0
.223790
-0
.057950
-
##
SE
Mean 0
.000263 0
.000714
-
##
LCL
Mean 0
.000373
-0
.001637
-
##
UCL
Mean 0
.001410 0
.001175
-
##
Variance 0
.000017 0
.000128
-
##
Stdev 0
.004172 0
.011313
-
##
Skewness
-0
.189808
-0
.522618
-
##
Kurtosis 2
.244076 2
.802996
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。
平均值
每日对数收益率具有正平均值的年份是：
-
-
filter_stats(stats,
"Mean",
0)
-
-
## [
1]
"2007"
"2009"
"2010"
"2011"
"2012"
"2013"
"2014"
"2016"
"2017"
按升序排列。
-
-
-
## 2008 2018 2015 2011 2007 2012 2014
-
##
Mean
-0
.001633
-0
.000231
-9e-05 0
.000214 0
.000246 0
.00028 0
.000288
-
## 2010 2016 2009 2017 2013
-
##
Mean 0
.000415 5
e-04 0
.000684 0
.000892 0
.000933
中位数
正中位数是：
-
-
filter_stats(dj_stats,
"Median",
0)
-
-
## [
1]
"2007"
"2009"
"2010"
"2011"
"2013"
"2014"
"2016"
"2017"
"2018"
以升序排列。
-
-
-
## 2008 2015 2012 2017 2010 2018 2014
-
##
Median
-0
.00089
-0
.000211
-0
.000122 0
.000655 0
.000681 0
.000695 0
.000728
-
## 2016 2011 2009 2007 2013
-
##
Median 0
.000738 0
.000941 0
.001082 0
.001098 0
.001158
偏度
偏度（Skewness）可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。
公式：
其中 
是均值， 
是标准差。
几何意义：
偏度的取值范围为(-∞,+∞)
当偏度<0时，概率分布图左偏（也叫负偏分布，其偏度<0）。
当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。
当偏度>0时，概率分布图右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。
例如上图中，左图形状左偏，右图形状右偏。
每日对数收益出现正偏的年份是：
-
-
-
## [1] "2008" "2009" "2012"
按升序返回对数偏度。
-
-
stats["Skewness",order(stats["Skewness",
-
-
#
# 2007 2011 2018 2016 2014 2013
-
#
# Skewness -0.613828 -0.526083 -0.522618 -0.449311 -0.332766 -0.199407
-
#
# 2017 2010 2015 2012 2009 2008
-
#
# Skewness -0.189808 -0.174816 -0.127788 0.027235 0.07084 0.224042
峰度
峰度（Kurtosis）可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。
公式：
其中 
是均值， 
是标准差。
几何意义：
峰度的取值范围为[1,+∞)，完全服从正态分布的数据的峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。
例如上图中，左图是标准正太分布，峰度=3，右图的峰度=4，可以看到右图比左图更高尖。
通常我们将峰度值减去3，也被称为超值峰度（Excess Kurtosis），这样正态分布的峰度值等于0，当峰度值>0，则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖，当峰度值<0，则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。
每日对数收益出现超值峰度的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
按升序返回超值峰度。
-
-
-
## 2012 2014 2013 2015 2007 2010 2009
-
##
Kurtosis 0
.84289 1
.073234 1
.275821 1
.394268 1
.525069 2
.055407 2
.07424
-
## 2016 2017 2011 2018 2008
-
##
Kurtosis 2
.079671 2
.244076 2
.453822 2
.802996 3
.670796
2018年的峰度最接近2008年。
箱形图
我们可以看到2008年出现了最极端的值。从2009年开始，除了2011年和2015年以外，其他所有值的范围都变窄了。但是，与2017年和2018年相比，产生极端值的趋势明显改善。
密度图
densityplot(ret_df)
2007年具有显着的负偏。2008年的特点是平坦。2017年的峰值与2018年的平坦度和左偏一致。
shapiro检验
-
shapirot(ret_df)
-
-
#
# result
-
#
# 2007 5.989576e-07
-
#
# 2008 5.782666e-09
-
#
# 2009 1.827967e-05
-
#
# 2010 3.897345e-07
-
#
# 2011 5.494349e-07
-
#
# 2012 1.790685e-02
-
#
# 2013 8.102500e-03
-
#
# 2014 1.750036e-04
-
#
# 2015 5.531137e-03
-
#
# 2016 1.511435e-06
-
#
# 2017 3.304529e-05
-
#
# 2018 1.216327e-07
正常的零假设在2007-2018年的所有年份均被拒绝。
每周对数收益率探索性分析
可以从每日对数收益率开始计算每周对数收益率。让我们假设分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盘价。我们将每周的对数收益率定义为：
可以写为：
因此，每周对数收益率是应用于交易周窗口的每日对数收益率之和。
我们来看看每周的对数收益率。
该图显示波动率急剧上升和下降。我们将原始时间序列数据转换为数据框。
-
-
head(weekly_ret_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 1 2007 -0.0061521694
-
#
# 2 2007 0.0126690596
-
#
# 3 2007 0.0007523559
-
#
# 4 2007 -0.0062677053
-
#
# 5 2007 0.0132434177
-
#
# 6 2007 -0.0057588519
-
tail(weekly_ret_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 622 2018 0.05028763
-
#
# 623 2018 -0.04605546
-
#
# 624 2018 -0.01189714
-
#
# 625 2018 -0.07114867
-
#
# 626 2018 0.02711928
-
#
# 627 2018 0.01142764
基本统计摘要
-
dataframe_basicstats(
weekly_ret_df)
-
-
## 2007 2008 2009 2010 2011 2012
-
##
nobs 52
.000000 52
.000000 53
.000000 52
.000000 52
.000000 52
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.043199
-0
.200298
-0
.063736
-0
.058755
-0
.066235
-0
.035829
-
##
Maximum 0
.030143 0
.106977 0
.086263 0
.051463 0
.067788 0
.035316
-
## 1.
Quartile
-0
.009638
-0
.031765
-0
.015911
-0
.007761
-0
.015485
-0
.010096
-
## 3.
Quartile 0
.014808 0
.012682 0
.022115 0
.016971 0
.014309 0
.011887
-
##
Mean 0
.001327
-0
.008669 0
.003823 0
.002011 0
.001035 0
.001102
-
##
Median 0
.004244
-0
.006811 0
.004633 0
.004529 0
.001757 0
.001166
-
##
Sum 0
.069016
-0
.450811 0
.202605 0
.104565 0
.053810 0
.057303
-
##
SE
Mean 0
.002613 0
.006164 0
.004454 0
.003031 0
.003836 0
.002133
-
##
LCL
Mean
-0
.003919
-0
.021043
-0
.005115
-0
.004074
-0
.006666
-0
.003181
-
##
UCL
Mean 0
.006573 0
.003704 0
.012760 0
.008096 0
.008736 0
.005384
-
##
Variance 0
.000355 0
.001975 0
.001051 0
.000478 0
.000765 0
.000237
-
##
Stdev 0
.018843 0
.044446 0
.032424 0
.021856 0
.027662 0
.015382
-
##
Skewness
-0
.680573
-0
.985740 0
.121331
-0
.601407
-0
.076579
-0
.027302
-
##
Kurtosis
-0
.085887 5
.446623
-0
.033398 0
.357708 0
.052429
-0
.461228
-
## 2013 2014 2015 2016 2017 2018
-
##
nobs 52
.000000 52
.000000 53
.000000 52
.000000 52
.000000 53
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.022556
-0
.038482
-0
.059991
-0
.063897
-0
.015317
-0
.071149
-
##
Maximum 0
.037702 0
.034224 0
.037693 0
.052243 0
.028192 0
.050288
-
## 1.
Quartile
-0
.001738
-0
.006378
-0
.012141
-0
.007746
-0
.002251
-0
.011897
-
## 3.
Quartile 0
.011432 0
.010244 0
.009620 0
.012791 0
.009891 0
.019857
-
##
Mean 0
.004651 0
.001756
-0
.000669 0
.002421 0
.004304
-0
.001093
-
##
Median 0
.006360 0
.003961 0
.000954 0
.001947 0
.004080 0
.001546
-
##
Sum 0
.241874 0
.091300
-0
.035444 0
.125884 0
.223790
-0
.057950
-
##
SE
Mean 0
.001828 0
.002151 0
.002609 0
.002436 0
.001232 0
.003592
-
##
LCL
Mean 0
.000981
-0
.002563
-0
.005904
-0
.002470 0
.001830
-0
.008302
-
##
UCL
Mean 0
.008322 0
.006075 0
.004567 0
.007312 0
.006778 0
.006115
-
##
Variance 0
.000174 0
.000241 0
.000361 0
.000309 0
.000079 0
.000684
-
##
Stdev 0
.013185 0
.015514 0
.018995 0
.017568 0
.008886 0
.026154
-
##
Skewness
-0
.035175
-0
.534403
-0
.494963
-0
.467158 0
.266281
-0
.658951
-
##
Kurtosis
-0
.200282 0
.282354 0
.665460 2
.908942
-0
.124341
-0
.000870
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。
平均值
每周对数收益呈正平均值的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2016" "2017"
所有平均值按升序排列。
-
-
-
## 2008 2018 2015 2011 2012 2007 2014
-
##
Mean
-0
.008669
-0
.001093
-0
.000669 0
.001035 0
.001102 0
.001327 0
.001756
-
## 2010 2016 2009 2017 2013
-
##
Mean 0
.002011 0
.002421 0
.003823 0
.004304 0
.004651
中位数
中位数是：
-
-
-
## [1] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016" "2017"
-
## [
11]
"2018"
所有中值按升序排列。
-
-
-
## 2008 2015 2012 2018 2011 2016 2014
-
##
Median
-0
.006811 0
.000954 0
.001166 0
.001546 0
.001757 0
.001947 0
.003961
-
## 2017 2007 2010 2009 2013
-
##
Median 0
.00408 0
.004244 0
.004529 0
.004633 0
.00636
偏度
出现正偏的年份是：
-
stats(stats,
"Skewness",
0)
-
-
## [
1]
"2009"
"2017"
所有偏度按升序排列。
-
-
stats
["Skewness",order(stats["Skewness",,])]
-
-
## 2008 2007 2018 2010 2014 2015
-
##
Skewness
-0
.98574
-0
.680573
-0
.658951
-0
.601407
-0
.534403
-0
.494963
-
## 2016 2011 2013 2012 2009 2017
-
##
Skewness
-0
.467158
-0
.076579
-0
.035175
-0
.027302 0
.121331 0
.266281
峰度
出现正峰度的年份是：
-
-
filter_stats(stats,
"Kurtosis",
0)
-
-
## [
1]
"2008"
"2010"
"2011"
"2014"
"2015"
"2016"
峰度值都按升序排列。
-
-
-
## 2012 2013 2017 2007 2009 2018
-
##
Kurtosis
-0
.461228
-0
.200282
-0
.124341
-0
.085887
-0
.033398
-0
.00087
-
## 2011 2014 2010 2015 2016 2008
-
##
Kurtosis 0
.052429 0
.282354 0
.357708 0
.66546 2
.908942 5
.446623
2008年也是每周峰度最高的年份。但是，在这种情况下，2017年的峰度为负，而2016年的峰度为第二。
箱形图
密度图
shapiro检验
-
-
shapirot(weekly_df)
-
-
#
# result
-
#
# 2007 0.0140590311
-
#
# 2008 0.0001397267
-
#
# 2009 0.8701335006
-
#
# 2010 0.0927104389
-
#
# 2011 0.8650874270
-
#
# 2012 0.9934600084
-
#
# 2013 0.4849043121
-
#
# 2014 0.1123139646
-
#
# 2015 0.3141519756
-
#
# 2016 0.0115380989
-
#
# 2017 0.9465281164
-
#
# 2018 0.0475141869
零假设在2007、2008、2016年被拒绝。
QQ图
在2008年尤其明显地违背正态分布的情况。
交易量探索性分析
在这一部分中，本文将分析道琼斯工业平均指数（DJIA）的交易量。
获取数据
每日量探索性分析
我们绘制每日交易量。
-
vol <-
DJI[,
"DJI.Volume"]
-
plot(vol)
值得注意的是，2017年初的水平跃升，我们将在第4部分中进行研究。我们将时间序列数据和时间轴索引转换为数据框。
-
-
head(dj_vol_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 1 2007 327200000
-
#
# 2 2007 259060000
-
#
# 3 2007 235220000
-
#
# 4 2007 223500000
-
#
# 5 2007 225190000
-
#
# 6 2007 226570000
-
tail(dj_vol_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 3015 2018 900510000
-
#
# 3016 2018 308420000
-
#
# 3017 2018 433080000
-
#
# 3018 2018 407940000
-
#
# 3019 2018 336510000
-
#
# 3020 2018 288830000
基本统计摘要
-
-
## 2007 2008 2009 2010
-
##
nobs 2
.510000e+02 2
.530000e+02 2
.520000e+02 2
.520000e+02
-
##
NAs 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00
-
##
Minimum 8
.640000e+07 6
.693000e+07 5
.267000e+07 6
.840000e+07
-
##
Maximum 4
.571500e+08 6
.749200e+08 6
.729500e+08 4
.598900e+08
-
## 1.
Quartile 2
.063000e+08 2
.132100e+08 1
.961850e+08 1
.633400e+08
-
## 3.
Quartile 2
.727400e+08 3
.210100e+08 3
.353625e+08 2
.219025e+08
-
##
Mean 2
.449575e+08 2
.767164e+08 2
.800537e+08 2
.017934e+08
-
##
Median 2
.350900e+08 2
.569700e+08 2
.443200e+08 1
.905050e+08
-
##
Sum 6
.148432e+10 7
.000924e+10 7
.057354e+10 5
.085193e+10
-
##
SE
Mean 3
.842261e+06 5
.965786e+06 7
.289666e+06 3
.950031e+06
-
##
LCL
Mean 2
.373901e+08 2
.649672e+08 2
.656970e+08 1
.940139e+08
-
##
UCL
Mean 2
.525248e+08 2
.884655e+08 2
.944104e+08 2
.095728e+08
-
##
Variance 3
.705505e+15 9
.004422e+15 1
.339109e+16 3
.931891e+15
-
##
Stdev 6
.087286e+07 9
.489163e+07 1
.157199e+08 6
.270480e+07
-
##
Skewness 9
.422400e-01 1
.203283e+00 1
.037015e+00 1
.452082e+00
-
##
Kurtosis 1
.482540e+00 2
.064821e+00 6
.584810e-01 3
.214065e+00
-
## 2011 2012 2013 2014
-
##
nobs 2
.520000e+02 2
.500000e+02 2
.520000e+02 2
.520000e+02
-
##
NAs 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00
-
##
Minimum 8
.410000e+06 4
.771000e+07 3
.364000e+07 4
.287000e+07
-
##
Maximum 4
.799800e+08 4
.296100e+08 4
.200800e+08 6
.554500e+08
-
## 1.
Quartile 1
.458775e+08 1
.107150e+08 9
.488000e+07 7
.283000e+07
-
## 3.
Quartile 1
.932400e+08 1
.421775e+08 1
.297575e+08 9
.928000e+07
-
##
Mean 1
.804133e+08 1
.312606e+08 1
.184434e+08 9
.288516e+07
-
##
Median 1
.671250e+08 1
.251950e+08 1
.109250e+08 8
.144500e+07
-
##
Sum 4
.546415e+10 3
.281515e+10 2
.984773e+10 2
.340706e+10
-
##
SE
Mean 3
.897738e+06 2
.796503e+06 2
.809128e+06 3
.282643e+06
-
##
LCL
Mean 1
.727369e+08 1
.257528e+08 1
.129109e+08 8
.642012e+07
-
##
UCL
Mean 1
.880897e+08 1
.367684e+08 1
.239758e+08 9
.935019e+07
-
##
Variance 3
.828475e+15 1
.955108e+15 1
.988583e+15 2
.715488e+15
-
##
Stdev 6
.187468e+07 4
.421660e+07 4
.459353e+07 5
.211034e+07
-
##
Skewness 1
.878239e+00 3
.454971e+00 3
.551752e+00 6
.619268e+00
-
##
Kurtosis 5
.631080e+00 1
.852581e+01 1
.900989e+01 5
.856136e+01
-
## 2015 2016 2017 2018
-
##
nobs 2
.520000e+02 2
.520000e+02 2
.510000e+02 2
.510000e+02
-
##
NAs 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00 0
.000000e+00
-
##
Minimum 4
.035000e+07 4
.589000e+07 1
.186100e+08 1
.559400e+08
-
##
Maximum 3
.445600e+08 5
.734700e+08 6
.357400e+08 9
.005100e+08
-
## 1.
Quartile 8
.775250e+07 8
.224250e+07 2
.695850e+08 2
.819550e+08
-
## 3.
Quartile 1
.192150e+08 1
.203550e+08 3
.389950e+08 4
.179200e+08
-
##
Mean 1
.093957e+08 1
.172089e+08 3
.112396e+08 3
.593710e+08
-
##
Median 1
.021000e+08 9
.410500e+07 2
.996700e+08 3
.414700e+08
-
##
Sum 2
.756772e+10 2
.953664e+10 7
.812114e+10 9
.020213e+10
-
##
SE
Mean 2
.433611e+06 4
.331290e+06 4
.376432e+06 6
.984484e+06
-
##
LCL
Mean 1
.046028e+08 1
.086786e+08 3
.026202e+08 3
.456151e+08
-
##
UCL
Mean 1
.141886e+08 1
.257392e+08 3
.198590e+08 3
.731270e+08
-
##
Variance 1
.492461e+15 4
.727538e+15 4
.807442e+15 1
.224454e+16
-
##
Stdev 3
.863238e+07 6
.875709e+07 6
.933572e+07 1
.106550e+08
-
##
Skewness 3
.420032e+00 3
.046742e+00 1
.478708e+00 1
.363823e+00
-
##
Kurtosis 1
.612326e+01 1
.122161e+01 3
.848619e+00 3
.277164e+00
在下文中，我们对上面显示的一些相关指标进行了评论。
平均值
每日交易量具有正平均值的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
所有每日交易量均值按升序排列。
-
-
-
## 2014 2015 2016 2013 2012 2011 2010
-
#
# Mean 92885159 109395714 117208889 118443373 131260600 180413294 201793373
-
#
# 2007 2008 2009 2017 2018
-
#
# Mean 244957450 276716364 280053730 311239602 359371036
中位数
每日交易量中位数为正的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
所有每日成交量中值均按升序排列。
-
-
-
## 2014 2016 2015 2013 2012 2011 2010
-
#
# Median 81445000 94105000 102100000 110925000 125195000 167125000 190505000
-
#
# 2007 2009 2008 2017 2018
-
#
# Median 235090000 244320000 256970000 299670000 341470000
偏度
每日交易量出现正偏的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
每日交易量偏度值均按升序排列。
-
-
-
## 2007 2009 2008 2018 2010 2017 2011
-
##
Skewness 0
.94224 1
.037015 1
.203283 1
.363823 1
.452082 1
.478708 1
.878239
-
## 2016 2015 2012 2013 2014
-
##
Skewness 3
.046742 3
.420032 3
.454971 3
.551752 6
.619268
峰度
有正峰度的年份是：
-
-
-
## [1] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
按升序排列。
-
-
## 2009 2007 2008 2010 2018 2017 2011
-
##
Kurtosis 0
.658481 1
.48254 2
.064821 3
.214065 3
.277164 3
.848619 5
.63108
-
## 2016 2015 2012 2013 2014
-
##
Kurtosis 11
.22161 16
.12326 18
.52581 19
.00989 58
.56136
箱形图
从2010年开始交易量开始下降，2017年出现了显着增长。2018年的交易量甚至超过了2017年和其他年份。
密度图
shapiro检验
-
#
# result
-
#
# 2007 6.608332e-09
-
#
# 2008 3.555102e-10
-
#
# 2009 1.023147e-10
-
#
# 2010 9.890576e-13
-
#
# 2011 2.681476e-16
-
#
# 2012 1.866544e-20
-
#
# 2013 6.906596e-21
-
#
# 2014 5.304227e-27
-
#
# 2015 2.739912e-21
-
#
# 2016 6.640215e-23
-
#
# 2017 4.543843e-12
-
#
# 2018 9.288371e-11
正态分布的零假设被拒绝。
QQ图
QQplots直观地确认了每日交易量分布的非正态情况。
每日交易量对数比率探索性分析
与对数收益类似，我们可以将交易量对数比率定义为
vt：= ln(Vt/Vt−1)
我们可以通过PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns对其进行计算并将其绘制出来。
plot(vol_log_ratio)
将交易量对数比率时间序列数据和时间轴索引映射到数据框。
-
head(dvol_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 1 2007 -0.233511910
-
#
# 2 2007 -0.096538449
-
#
# 3 2007 -0.051109832
-
#
# 4 2007 0.007533076
-
#
# 5 2007 0.006109458
-
#
# 6 2007 0.144221282
-
tail(vol_df)
-
-
#
# year value
-
#
# 3014 2018 0.44563907
-
#
# 3015 2018 -1.07149878
-
#
# 3016 2018 0.33945998
-
#
# 3017 2018 -0.05980236
-
#
# 3018 2018 -0.19249224
-
#
# 3019 2018 -0.15278959
基本统计摘要
-
-
## 2007 2008 2009 2010 2011
-
##
nobs 250
.000000 253
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-1
.606192
-1
.122526
-1
.071225
-1
.050181
-2
.301514
-
##
Maximum 0
.775961 0
.724762 0
.881352 1
.041216 2
.441882
-
## 1.
Quartile
-0
.123124
-0
.128815
-0
.162191
-0
.170486
-0
.157758
-
## 3.
Quartile 0
.130056 0
.145512 0
.169233 0
.179903 0
.137108
-
##
Mean
-0
.002685 0
.001203
-0
.001973
-0
.001550 0
.000140
-
##
Median
-0
.010972 0
.002222
-0
.031748
-0
.004217
-0
.012839
-
##
Sum
-0
.671142 0
.304462
-0
.497073
-0
.390677 0
.035162
-
##
SE
Mean 0
.016984 0
.016196 0
.017618 0
.019318 0
.026038
-
##
LCL
Mean
-0
.036135
-0
.030693
-0
.036670
-0
.039596
-0
.051141
-
##
UCL
Mean 0
.030766 0
.033100 0
.032725 0
.036495 0
.051420
-
##
Variance 0
.072112 0
.066364 0
.078219 0
.094041 0
.170850
-
##
Stdev 0
.268536 0
.257612 0
.279677 0
.306661 0
.413341
-
##
Skewness
-0
.802037
-0
.632586 0
.066535
-0
.150523 0
.407226
-
##
Kurtosis 5
.345212 2
.616615 1
.500979 1
.353797 14
.554642
-
## 2012 2013 2014 2015 2016
-
##
nobs 250
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000 252
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-2
.158960
-1
.386215
-2
.110572
-1
.326016
-1
.336471
-
##
Maximum 1
.292956 1
.245202 2
.008667 1
.130289 1
.319713
-
## 1.
Quartile
-0
.152899
-0
.145444
-0
.144280
-0
.143969
-0
.134011
-
## 3.
Quartile 0
.144257 0
.149787 0
.134198 0
.150003 0
.141287
-
##
Mean 0
.001642
-0
.002442 0
.000200 0
.000488 0
.004228
-
##
Median
-0
.000010
-0
.004922 0
.013460 0
.004112
-0
.002044
-
##
Sum 0
.410521
-0
.615419 0
.050506 0
.123080 1
.065480
-
##
SE
Mean 0
.021293 0
.019799 0
.023514 0
.019010 0
.019089
-
##
LCL
Mean
-0
.040295
-0
.041435
-0
.046110
-0
.036952
-0
.033367
-
##
UCL
Mean 0
.043579 0
.036551 0
.046510 0
.037929 0
.041823
-
##
Variance 0
.113345 0
.098784 0
.139334 0
.091071 0
.091826
-
##
Stdev 0
.336667 0
.314299 0
.373274 0
.301780 0
.303028
-
##
Skewness
-0
.878227
-0
.297951
-0
.209417
-0
.285918 0
.083826
-
##
Kurtosis 8
.115847 4
.681120 9
.850061 4
.754926 4
.647785
-
## 2017 2018
-
##
nobs 251
.000000 251
.000000
-
##
NAs 0
.000000 0
.000000
-
##
Minimum
-0
.817978
-1
.071499
-
##
Maximum 0
.915599 0
.926101
-
## 1.
Quartile
-0
.112190
-0
.119086
-
## 3.
Quartile 0
.110989 0
.112424
-
##
Mean
-0
.000017 0
.000257
-
##
Median
-0
.006322 0
.003987
-
##
Sum
-0
.004238 0
.064605
-
##
SE
Mean 0
.013446 0
.014180
-
##
LCL
Mean
-0
.026500
-0
.027671
-
##
UCL
Mean 0
.026466 0
.028185
-
##
Variance 0
.045383 0
.050471
-
##
Stdev 0
.213032 0
.224658
-
##
Skewness 0
.088511
-0
.281007
-
##
Kurtosis 3
.411036 4
.335748
在下文中，我们对一些相关的上述指标进行了具体评论。
平均值
每日交易量对数比率具有正平均值的年份是：
-
-
## [
1]
"2008"
"2011"
"2012"
"2014"
"2015"
"2016"
"2018"
所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
-
## 2007 2013 2009 2010 2017 2011 2014
-
##
Mean
-0
.002685
-0
.002442
-0
.001973
-0
.00155
-1
.7e-05 0
.00014 2
e-04
-
## 2018 2015 2008 2012 2016
-
##
Mean 0
.000257 0
.000488 0
.001203 0
.001642 0
.004228
中位数
每日交易量对数比率具有正中位数的年份是：
## [1] "2008" "2014" "2015" "2018"道琼斯所有每日成交量比率的中位数均按升序排列。
-
## 2009 2011 2007 2017 2013 2010
-
##
Median
-0
.031748
-0
.012839
-0
.010972
-0
.006322
-0
.004922
-0
.004217
-
## 2016 2012 2008 2018 2015 2014
-
##
Median
-0
.002044
-1e-05 0
.002222 0
.003987 0
.004112 0
.01346
偏度
每日成交量比率具有正偏的年份是：
## [1] "2009" "2011" "2016" "2017"所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
-
## 2012 2007 2008 2013 2015 2018
-
##
Skewness
-0
.878227
-0
.802037
-0
.632586
-0
.297951
-0
.285918
-0
.281007
-
## 2014 2010 2009 2016 2017 2011
-
##
Skewness
-0
.209417
-0
.150523 0
.066535 0
.083826 0
.088511 0
.407226
峰度
有正峰度的年份是：
-
## [
1]
"2007"
"2008"
"2009"
"2010"
"2011"
"2012"
"2013"
"2014"
"2015"
"2016"
-
## [
11]
"2017"
"2018"
均按升序排列。
-
## 2010 2009 2008 2017 2018 2016 2013
-
##
Kurtosis 1
.353797 1
.500979 2
.616615 3
.411036 4
.335748 4
.647785 4
.68112
-
## 2015 2007 2012 2014 2011
-
##
Kurtosis 4
.754926 5
.345212 8
.115847 9
.850061 14
.55464
箱形图
可以在2011、2014和2016年发现正的极端值。在2007、2011、2012、2014年可以发现负的极端值。
密度图
shapiro检验
-
#
# result
-
#
# 2007 3.695053e-09
-
#
# 2008 6.160136e-07
-
#
# 2009 2.083475e-04
-
#
# 2010 1.500060e-03
-
#
# 2011 3.434415e-18
-
#
# 2012 8.417627e-12
-
#
# 2013 1.165184e-10
-
#
# 2014 1.954662e-16
-
#
# 2015 5.261037e-11
-
#
# 2016 7.144940e-11
-
#
# 2017 1.551041e-08
-
#
# 2018 3.069196e-09
基于报告的p值，我们可以拒绝所有正态分布的零假设。
QQ图
在所有报告的年份都可以发现偏离正态状态。
对数收益率GARCH模型
我将为工业平均指数（DJIA）的每日对数收益率建立一个ARMA-GARCH模型。
这是工业平均指数每日对数收益的图。
plot(ret)
离群值检测
Performance Analytics程序包中的Return.clean函数能够清除异常值。在下面，我们将原始时间序列与调整离群值后的进行比较。
clean(ret, "boudt")
作为对波动率评估的更为保守的方法，本文将以原始时间序列进行分析。
相关图
以下是自相关和偏相关图。
acf(ret)
pacf(dj_ret)
上面的相关图表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。将在本分析的该范围内对此进行验证。
单位根检验
我们运行Augmented Dickey-Fuller检验。
-
-
#
#
-
#
# ###############################################
-
#
# # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
-
#
# ###############################################
-
#
#
-
#
# Test regression none
-
#
#
-
#
#
-
#
# Call:
-
#
# lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
-
#
#
-
#
# Residuals:
-
#
# Min 1Q Median 3Q Max
-
#
# -0.081477 -0.004141 0.000762 0.005426 0.098777
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-
#
# z.lag.1 -1.16233 0.02699 -43.058 < 2e-16 ***
-
#
# z.diff.lag 0.06325 0.01826 3.464 0.000539 ***
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
-
#
#
-
#
# Residual standard error: 0.01157 on 2988 degrees of freedom
-
#
# Multiple R-squared: 0.5484, Adjusted R-squared: 0.5481
-
#
# F-statistic: 1814 on 2 and 2988 DF, p-value: < 2.2e-16
-
#
#
-
#
#
-
#
# Value of test-statistic is: -43.0578
-
#
#
-
#
# Critical values for test statistics:
-
#
# 1pct 5pct 10pct
-
#
# tau1 -2.58 -1.95 -1.62
基于报告的检验统计数据与临界值的比较，我们拒绝单位根存在的零假设。
ARMA模型
现在，我们确定时间序列的ARMA结构，以便对结果残差进行ARCH效应检验。ACF和PACF系数拖尾表明存在ARMA（2,2）。我们利用auto.arima（）函数开始构建。
-
#
# Series: ret
-
#
# ARIMA(2,0,4) with zero mean
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 ma4
-
#
# 0.4250 -0.8784 -0.5202 0.8705 -0.0335 -0.0769
-
#
# s.e. 0.0376 0.0628 0.0412 0.0672 0.0246 0.0203
-
#
#
-
#
# sigma^2 estimated as 0.0001322: log likelihood=9201.19
-
#
# AIC=-18388.38 AICc=-18388.34 BIC=-18346.29
-
#
#
-
#
# Training set error measures:
-
#
# ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
-
#
# Training set 0.0002416895 0.01148496 0.007505056 NaN Inf 0.6687536
-
#
# ACF1
-
#
# Training set -0.002537238
建议使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系数在统计上并不显着，进一步通过以下方法验证：
-
#
# z test of coefficients:
-
#
#
-
#
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
-
#
# ar1 0.425015 0.037610 11.3007 < 2.2e-16 ***
-
#
# ar2 -0.878356 0.062839 -13.9779 < 2.2e-16 ***
-
#
# ma1 -0.520173 0.041217 -12.6204 < 2.2e-16 ***
-
#
# ma2 0.870457 0.067211 12.9511 < 2.2e-16 ***
-
#
# ma3 -0.033527 0.024641 -1.3606 0.1736335
-
#
# ma4 -0.076882 0.020273 -3.7923 0.0001492 ***
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
因此，我们将MA阶q <= 2作为约束。
-
#
# Series: dj_ret
-
#
# ARIMA(2,0,2) with zero mean
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# ar1 ar2 ma1 ma2
-
#
# -0.5143 -0.4364 0.4212 0.3441
-
#
# s.e. 0.1461 0.1439 0.1512 0.1532
-
#
#
-
#
# sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood=9196.33
-
#
# AIC=-18382.66 AICc=-18382.64 BIC=-18352.6
-
#
#
-
#
# Training set error measures:
-
#
# ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
-
#
# Training set 0.0002287171 0.01150361 0.007501925 Inf Inf 0.6684746
-
#
# ACF1
-
#
# Training set -0.002414944
现在，所有系数都具有统计意义。
-
#
# z test of coefficients:
-
#
#
-
#
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
-
#
# ar1 -0.51428 0.14613 -3.5192 0.0004328 ***
-
#
# ar2 -0.43640 0.14392 -3.0322 0.0024276 **
-
#
# ma1 0.42116 0.15121 2.7853 0.0053485 **
-
#
# ma2 0.34414 0.15323 2.2458 0.0247139 *
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）进行的进一步验证得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。这是结果。
-
#
# Series: dj_ret
-
#
# ARIMA(2,0,1) with zero mean
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# ar1 ar2 ma1
-
#
# -0.4619 -0.1020 0.3646
-
#
# s.e. 0.1439 0.0204 0.1438
-
#
#
-
#
# sigma^2 estimated as 0.0001327: log likelihood=9194.1
-
#
# AIC=-18380.2 AICc=-18380.19 BIC=-18356.15
-
#
#
-
#
# Training set error measures:
-
#
# ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
-
#
# Training set 0.0002370597 0.01151213 0.007522059 Inf Inf 0.6702687
-
#
# ACF1
-
#
# Training set 0.0009366271
-
coeftest(auto_model3)
-
-
#
#
-
#
# z test of coefficients:
-
#
#
-
#
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
-
#
# ar1 -0.461916 0.143880 -3.2104 0.001325 **
-
#
# ar2 -0.102012 0.020377 -5.0062 5.552e-07 ***
-
#
# ma1 0.364628 0.143818 2.5353 0.011234 *
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。
-
-
#
# ARIMA(1,0,2) with zero mean
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# ar1 ma1 ma2
-
#
# -0.4207 0.3259 -0.0954
-
#
# s.e. 0.1488 0.1481 0.0198
-
#
#
-
#
# sigma^2 estimated as 0.0001328: log likelihood=9193.01
-
#
# AIC=-18378.02 AICc=-18378 BIC=-18353.96
-
#
#
-
#
# Training set error measures:
-
#
# ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
-
#
# Training set 0.0002387398 0.0115163 0.007522913 Inf Inf 0.6703448
-
#
# ACF1
-
#
# Training set -0.001958194
-
coeftest(auto_model4)
-
-
#
#
-
#
# z test of coefficients:
-
#
#
-
#
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
-
#
# ar1 -0.420678 0.148818 -2.8268 0.004702 **
-
#
# ma1 0.325918 0.148115 2.2004 0.027776 *
-
#
# ma2 -0.095407 0.019848 -4.8070 1.532e-06 ***
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。此外，我们使用TSA软件包报告中的eacf（）函数。
-
#
# AR/MA
-
#
# 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-
#
# 0 x x x o x o o o o o o o o x
-
#
# 1 x x o o x o o o o o o o o o
-
#
# 2 x o o x x o o o o o o o o o
-
#
# 3 x o x o x o o o o o o o o o
-
#
# 4 x x x x x o o o o o o o o o
-
#
# 5 x x x x x o o x o o o o o o
-
#
# 6 x x x x x x o o o o o o o o
-
#
# 7 x x x x x o o o o o o o o o
以“ O”为顶点的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}内，它表示一组潜在候选对象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已经过验证。ARMA（2,2）已经是候选模型。让我们验证ARMA（1,3）。
-
#
# Call:
-
#
#
-
#
# Coefficients:
-
#
# ar1 ma1 ma2 ma3
-
#
# -0.2057 0.1106 -0.0681 0.0338
-
#
# s.e. 0.2012 0.2005 0.0263 0.0215
-
#
#
-
#
# sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood = 9193.97, aic = -18379.94
-
coeftest(arima_model5)
-
-
#
#
-
#
# z test of coefficients:
-
#
#
-
#
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
-
#
# ar1 -0.205742 0.201180 -1.0227 0.306461
-
#
# ma1 0.110599 0.200475 0.5517 0.581167
-
#
# ma2 -0.068124 0.026321 -2.5882 0.009647 **
-
#
# ma3 0.033832 0.021495 1.5739 0.115501
-
#
# ---
-
#
# Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
只有一个系数具有统计意义。
结论是，我们选择ARMA（2,2）作为均值模型。现在，我们可以继续进行ARCH效果检验。
ARCH效应检验
现在，我们可以检验模型残差上是否存在ARCH效应。如果ARCH效应对于我们的时间序列的残差在统计上显着，则需要GARCH模型。
-
-
#
# ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
-
#
#
-
#
# data: model_residuals - mean(model_residuals)
-
#
# Chi-squared = 986.82, df = 12, p-value < 2.2e-16
基于报告的p值，我们拒绝没有ARCH效应的原假设。
让我们看一下残差相关图。
条件波动率
条件均值和方差定义为：
μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]
条件波动率可以计算为条件方差的平方根。
eGARCH模型
将sGARCH作为方差模型的尝试未获得具有统计显着性系数的结果。而指数GARCH（eGARCH）方差模型能够捕获波动率内的不对称性。要检查DJIA对数收益率内的不对称性，显示汇总统计数据和密度图。
-
#
# DAdjusted
-
#
# nobs 3019.000000
-
#
# NAs 0.000000
-
#
# Minimum -0.082005
-
#
# Maximum 0.105083
-
#
# 1. Quartile -0.003991
-
#
# 3. Quartile 0.005232
-
#
# Mean 0.000207
-
#
# Median 0.000551
-
#
# Sum 0.625943
-
#
# SE Mean 0.000211
-
#
# LCL Mean -0.000206
-
#
# UCL Mean 0.000621
-
#
# Variance 0.000134
-
#
# Stdev 0.011593
-
#
# Skewness -0.141370
-
#
# Kurtosis 10.200492
负偏度值确认分布内不对称性的存在。
这给出了密度图。
我们继续提出eGARCH模型作为方差模型（针对条件方差）。更准确地说，我们将使用ARMA（2,2）作为均值模型，指数GARCH（1,1）作为方差模型对ARMA-GARCH进行建模。
在此之前，我们进一步强调ARMA（0,0）在这种情况下不令人满意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）
-
#
#
-
#
# *---------------------------------*
-
#
# * GARCH Model Fit *
-
#
# *---------------------------------*
-
#
#
-
#
# Conditional Variance Dynamics
-
#
# -----------------------------------
-
#
# GARCH Model : eGARCH(1,1)
-
#
# Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
-
#
# Distribution : sstd
-
#
#
-
#
# Optimal Parameters
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-
#
# mu 0.000303 0.000117 2.5933 0.009506
-
#
# omega -0.291302 0.016580 -17.5699 0.000000
-
#
# alpha1 -0.174456 0.013913 -12.5387 0.000000
-
#
# beta1 0.969255 0.001770 547.6539 0.000000
-
#
# gamma1 0.188918 0.021771 8.6773 0.000000
-
#
# skew 0.870191 0.021763 39.9848 0.000000
-
#
# shape 6.118380 0.750114 8.1566 0.000000
-
#
#
-
#
# Robust Standard Errors:
-
#
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-
#
# mu 0.000303 0.000130 2.3253 0.020055
-
#
# omega -0.291302 0.014819 -19.6569 0.000000
-
#
# alpha1 -0.174456 0.016852 -10.3524 0.000000
-
#
# beta1 0.969255 0.001629 595.0143 0.000000
-
#
# gamma1 0.188918 0.031453 6.0063 0.000000
-
#
# skew 0.870191 0.022733 38.2783 0.000000
-
#
# shape 6.118380 0.834724 7.3298 0.000000
-
#
#
-
#
# LogLikelihood : 10138.63
-
#
#
-
#
# Information Criteria
-
#
# ------------------------------------
-
#
#
-
#
# Akaike -6.7119
-
#
# Bayes -6.6980
-
#
# Shibata -6.7119
-
#
# Hannan-Quinn -6.7069
-
#
#
-
#
# Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
-
#
# ------------------------------------
-
#
# statistic p-value
-
#
# Lag[1] 5.475 0.01929
-
#
# Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 6.011 0.02185
-
#
# Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 7.712 0.03472
-
#
# d.o.f=0
-
#
# H0 : No serial correlation
-
#
#
-
#
# Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
-
#
# ------------------------------------
-
#
# statistic p-value
-
#
# Lag[1] 1.342 0.2467
-
#
# Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.325 0.5438
-
#
# Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 2.971 0.7638
-
#
# d.o.f=2
-
#
#
-
#
# Weighted ARCH LM Tests
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Statistic Shape Scale P-Value
-
#
# ARCH Lag[3] 0.3229 0.500 2.000 0.5699
-
#
# ARCH Lag[5] 1.4809 1.440 1.667 0.5973
-
#
# ARCH Lag[7] 1.6994 2.315 1.543 0.7806
-
#
#
-
#
# Nyblom stability test
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Joint Statistic: 4.0468
-
#
# Individual Statistics:
-
#
# mu 0.2156
-
#
# omega 1.0830
-
#
# alpha1 0.5748
-
#
# beta1 0.8663
-
#
# gamma1 0.3994
-
#
# skew 0.1044
-
#
# shape 0.4940
-
#
#
-
#
# Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
-
#
# Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35
-
#
# Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
-
#
#
-
#
# Sign Bias Test
-
#
# ------------------------------------
-
#
# t-value prob sig
-
#
# Sign Bias 1.183 0.23680
-
#
# Negative Sign Bias 2.180 0.02932 **
-
#
# Positive Sign Bias 1.554 0.12022
-
#
# Joint Effect 8.498 0.03677 **
-
#
#
-
#
#
-
#
# Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
-
#
# ------------------------------------
-
#
# group statistic p-value(g-1)
-
#
# 1 20 37.24 0.00741
-
#
# 2 30 42.92 0.04633
-
#
# 3 40 52.86 0.06831
-
#
# 4 50 65.55 0.05714
-
#
#
-
#
#
-
#
# Elapsed time : 0.6527421
所有系数均具有统计学意义。但是，根据以上报告的p值的标准化残差加权Ljung-Box检验，我们确认该模型无法捕获所有ARCH效果（我们拒绝了残差内无相关性的零假设） ）。
作为结论，我们通过在下面所示的GARCH拟合中指定ARMA（2,2）作为均值模型来继续进行。
ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）
-
#
#
-
#
# *---------------------------------*
-
#
# * GARCH Model Fit *
-
#
# *---------------------------------*
-
#
#
-
#
# Conditional Variance Dynamics
-
#
# -----------------------------------
-
#
# GARCH Model : eGARCH(1,1)
-
#
# Mean Model : ARFIMA(2,0,2)
-
#
# Distribution : sstd
-
#
#
-
#
# Optimal Parameters
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-
#
# ar1 -0.47642 0.026115 -18.2433 0
-
#
# ar2 -0.57465 0.052469 -10.9523 0
-
#
# ma1 0.42945 0.025846 16.6157 0
-
#
# ma2 0.56258 0.054060 10.4066 0
-
#
# omega -0.31340 0.003497 -89.6286 0
-
#
# alpha1 -0.17372 0.011642 -14.9222 0
-
#
# beta1 0.96598 0.000027 35240.1590 0
-
#
# gamma1 0.18937 0.011893 15.9222 0
-
#
# skew 0.84959 0.020063 42.3469 0
-
#
# shape 5.99161 0.701313 8.5434 0
-
#
#
-
#
# Robust Standard Errors:
-
#
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
-
#
# ar1 -0.47642 0.007708 -61.8064 0
-
#
# ar2 -0.57465 0.018561 -30.9608 0
-
#
# ma1 0.42945 0.007927 54.1760 0
-
#
# ma2 0.56258 0.017799 31.6074 0
-
#
# omega -0.31340 0.003263 -96.0543 0
-
#
# alpha1 -0.17372 0.012630 -13.7547 0
-
#
# beta1 0.96598 0.000036 26838.0412 0
-
#
# gamma1 0.18937 0.013003 14.5631 0
-
#
# skew 0.84959 0.020089 42.2911 0
-
#
# shape 5.99161 0.707324 8.4708 0
-
#
#
-
#
# LogLikelihood : 10140.27
-
#
#
-
#
# Information Criteria
-
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# ------------------------------------
-
#
#
-
#
# Akaike -6.7110
-
#
# Bayes -6.6911
-
#
# Shibata -6.7110
-
#
# Hannan-Quinn -6.7039
-
#
#
-
#
# Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
-
#
# ------------------------------------
-
#
# statistic p-value
-
#
# Lag[1] 0.03028 0.8619
-
#
# Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][11] 5.69916 0.6822
-
#
# Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][19] 12.14955 0.1782
-
#
# d.o.f=4
-
#
# H0 : No serial correlation
-
#
#
-
#
# Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
-
#
# ------------------------------------
-
#
# statistic p-value
-
#
# Lag[1] 1.666 0.1967
-
#
# Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.815 0.4418
-
#
# Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 3.457 0.6818
-
#
# d.o.f=2
-
#
#
-
#
# Weighted ARCH LM Tests
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Statistic Shape Scale P-Value
-
#
# ARCH Lag[3] 0.1796 0.500 2.000 0.6717
-
#
# ARCH Lag[5] 1.5392 1.440 1.667 0.5821
-
#
# ARCH Lag[7] 1.6381 2.315 1.543 0.7933
-
#
#
-
#
# Nyblom stability test
-
#
# ------------------------------------
-
#
# Joint Statistic: 4.4743
-
#
# Individual Statistics:
-
#
# ar1 0.07045
-
#
# ar2 0.37070
-
#
# ma1 0.07702
-
#
# ma2 0.39283
-
#
# omega 1.00123
-
#
# alpha1 0.49520
-
#
# beta1 0.79702
-
#
# gamma1 0.51601
-
#
# skew 0.07163
-
#
# shape 0.55625
-
#
#
-
#
# Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
-
#
# Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
-
#
# Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
-
#
#
-
#
# Sign Bias Test
-
#
# ------------------------------------
-
#
# t-value prob sig
-
#
# Sign Bias 0.4723 0.63677
-
#
# Negative Sign Bias 1.7969 0.07246 *
-
#
# Positive Sign Bias 2.0114 0.04438 **
-
#
# Joint Effect 7.7269 0.05201 *
-
#
#
-
#
#
-
#
# Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
-
#
# ------------------------------------
-
#
# group statistic p-value(g-1)
-
#
# 1 20 46.18 0.0004673
-
#
# 2 30 47.73 0.0156837
-
#
# 3 40 67.07 0.0034331
-
#
# 4 50 65.51 0.0574582
-
#
#
-
#
#
-
#
# Elapsed time : 0.93679
所有系数均具有统计学意义。在标准化残差或标准化平方残差内未发现相关性。模型正确捕获所有ARCH效果。然而：
*对于某些模型参数，Nyblom稳定性检验无效假设认为模型参数随时间是恒定的
*正偏差为零的假设在5％的显着性水平上被拒绝；这种检验着重于正面冲击的影响
*拒绝了标准化残差的经验和理论分布相同的Pearson拟合优度检验原假设
注意：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）拟合还提供统计上显着的系数，标准化残差内没有相关性，标准化平方残差内没有相关性，并且正确捕获了所有ARCH效应。但是，偏差检验在5％时不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人满意。
进一步显示诊断图。
我们用平均模型拟合（红线）和条件波动率（蓝线）显示了原始的对数收益时间序列。
-
-
p <- addSeries(
mean_model_fit, col = 'red', on =
1)
-
p <- addSeries(
cond_volatility, col = 'blue', on =
1)
-
p
模型方程式
结合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我们可以：
yt − ϕ1yt−1 − ϕ2yt−2 = ϕ0 + ut + θ1ut−1 +θ2ut-2ut= σtϵt，ϵt = N（0,1）ln（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αjϵt−j2 +γ （ϵt−j–E | ϵt−j |））+ ∑i =1pβiln（σt−12）
使用模型结果系数，结果如下。
yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σtϵt，ϵt = N（0,1）ln（σt2）= -0.313 -0.174ϵt-12 +0.189（ ϵt−1–E | ϵt−1 |））+ 0.966 ln（σt−12）
波动率分析
这是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的条件波动图。
plot(cond_volatility)
显示了年条件波动率的线线图。
-
-
pl <- lapply(
2007:
2018, function(
x) { plot(
cond_volatility[as.character(
x)])
-
pl
显示了按年列出的条件波动率箱图。
2008年之后，日波动率基本趋于下降。在2017年，波动率低于其他任何年。不同的是，与2017年相比，我们在2018年的波动性显着增加。
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转载：https://blog.csdn.net/qq_19600291/article/details/105907223
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