数学建模常用模型06 ：时间序列预测

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时间序列预测与马尔科夫链预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等

ARMA模型的全称是自回归移动平均(auto regression moving average)模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型，它又可细分为AR模型(auto regression model)、MA模型(moving average model)和ARMA模型(auto regression moving average model)三大类。

例 税收作为政府财政收入的主要来源，是地方政府实行宏观调控、保证地区经济稳定增长的重要因素。各级政府每年均需预测来年的税收收入以安排财政预算。什么方法能够帮助地方政府有效地预测税收收入？下表是某地历年税收数据（单位：亿元）

表1 各年度的税收数据

利用以下程序：

  

   

    

     

    
    

     

      clc, clear
     
    
   

    

     

    
    

     

      a=[
      15.
      2	 
      15.
      9	
      18.
      7	
      22.
      4	
      26.
      9	
      28.
      3	
      30.
      5  
      33.
      8	 
      40.
      4	
      50.
      7	
      58	    
      66.
      7	
      81.
      2	
      83.
      4];
     
    
   

    

     

    
    

     

      m=input('请输入需要预测的个数：');
     
    
   

    

     

    
    

     

      ahat=a;
     
    
   

    

     

    
    

     

      for i=
      1:m   %m=需要预测值的数量
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      fprintf('现在开始预测第%d个值。',i);
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      a=ahat;
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      a=a'; a=a(:); a=a'; %把原始数据按照时间顺序展开成一个行向量
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      Rt=tiedrank(a);  %求原始时间序列的秩
      28.
      3
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      n=length(a); t=
      1:n; 
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      Qs=
      1-
      6/(n*(n^
      2-
      1))*sum((t-Rt).^
      2)   %计算Qs的值
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      T=Qs*sqrt(n-
      2)/sqrt(
      1-Qs^
      2)   %计算T统计量的值
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      t_0=tinv(
      0.
      975,n-
      2)     %计算上alpha/
      2分位数
     
    
  

作下列假设检验

：序列平稳；

：序列非平稳（存在上升或者下降趋势）。

Daniel检验方法：对于显著水平，由时间序列计算，的Spearman秩相关系数Qs，若>t_0，则拒绝，认为序列非平稳。并且Qs>0时，认为序列由上升趋势；Qs<0时，认为序列有下降趋势。又当t_0时，接受，可以认为是平稳序列。

本题中，，上alpha/2的值t_0=2.1788，所以>t_0，故认为序列是非平稳的；因为Qs>0，所以序列有上升趋势。为了构造平稳序列，对于作一阶差分运算，得到序列。从时间序列散点图来看，时间序列是平稳的。

实现代码如下：

  

   

    

     

    
    

     
 
      if(T>t_0)
     
    
   

    

     

    
    

     

              b=diff(a);   
      %求原始时间序列的一阶差分
     
    
   

    

     

    
    

     

              c=ar(b,
      2,'ls');  
      %利用最小二乘法估计模型的参数
     
    
   

    

     

    
    

     

              bhat=predict(c,b') 
      %求原始数据的预测值,第二个参数必须为列向量
     
    
   

    

     

    
    

     

              bhat(
      end+
      1)=forecast(c,b',
      1); 
      %计算1个预测值，第二个参数必须为列向量
     
    
   

    

     

    
    

     

              fprintf('第
      %d个值预测后的全部数据ahat：',i);
     
    
   

    

     

    
    

     

              ahat=[a(
      1), a+bhat']  
      %求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值
     
    
   

    

     

    
    

     

              delta=abs((ahat(
      1:
      end-
      1)-a)./a)  
      %计算原始数据预测的相对误差
     
    
   

    

     

    
    

     

          else
     
    
   

    

     

    
    

     

              c=ar(a,
      2,'ls');  
      %利用最小二乘法估计模型的参数
     
    
   

    

     

    
    

     

              bhat=predict(c,a')  
      %求原始数据的预测值,第二个参数必须为列向量
     
    
   

    

     

    
    

     

              bhat(
      end+
      1)=forecast(c,a',
      1); 
      %计算1个预测值，第二个参数必须为列向量
     
    
   

    

     

    
    

     

              fprintf('第
      %d个值预测后的全部数据ahat：',i);
     
    
   

    

     

    
    

     

              ahat=bhat'
      %求原始数据的预测值，并计算t=15的预测值
     
    
   

    

     

    
    

     

              delta=abs((ahat(
      1:
      end-
      1)-a)./a)  
      %计算原始数据预测的相对误差
     
    
   

    

     

    
    

     
    
      end
     
    
   

    

     

    
    

     

      end
     
    
  

最终算得结果如下：

注：在使用该程序时，只需要把矩阵a换成自己的数据就行

一般推荐使用SPSS，具体步骤如下：

SPSS进行时间序列预测：

1. 把数据输入到SPSS中；

2.定义日期和时间；

3.选择日期：选择“年”，第一个个案是：选择2000，然后点击“确定”；

4.转换→创建时间序列

5.把“税收”移到“变量”里，“名称”默认即可，“函数”中选择“平滑”，然后点击“确定”，即可得到预测结果；

为了和用MATLAB求解的结果作比较，这里也求出了其相对应的相对误差：