彻底理解0-1背包问题

0-1背包问题

给定n个重量为$w_1$，$w_2$,$w_3$,…,$w_n$，价值为$v_1$,$v_2$,$v_3$,…,$v_n$的物品和容量为$C$的背包，求这个物品中一个最有价值的子集，使得在满足背包的容量的前提下，包内的总价值最大

0-1背包问题指的是每个物品只能使用一次

递归方法

首先我们用递归的方式来尝试解决这个问题
我们用$F(n,C)$表示将前$n$个物品放进容量为$C$的背包里，得到的最大的价值。
我们用自顶向下的角度来看，假如我们已经进行到了最后一步（即求解将$n$个物品放到背包里获得的最大价值），此时我们便有两种选择

1. 不放第$n$个物品，此时总价值为$F(n-1,C)$
2. 放置第$n$个物品，此时总价值为$v_n+F(n-1,C-w_n)$

两种选择中总价值最大的方案就是我们的最终方案，递推式（有时也称之为状态转移方程）如下
$$F(i,C)=max(F(i-1,C),v(i)+F(i-1,C-w(i)))$$
编程实现如下：

public class KnapSack01 {
   
    /**
     * 解决背包问题的递归函数
     *
     * @param w        物品的重量数组
     * @param v        物品的价值数组
     * @param index    当前待选择的物品索引
     * @param capacity 当前背包有效容量
     * @return 最大价值
     */
    private static int solveKS(int[] w, int[] v, int index, int capacity) {
   
        //基准条件：如果索引无效或者容量不足，直接返回当前价值0
        if (index < 0 || capacity <= 0)
            return 0;

        //不放第index个物品所得价值
        int res = solveKS(w, v, index - 1, capacity);
        //放第index个物品所得价值（前提是：第index个物品可以放得下）
        if (w[index] <= capacity) {
   
            res = Math.max(res, v[index] + solveKS(w, v, index - 1, capacity - w[index]));
        }
        return res;
    }

    public static int knapSack(int[] w, int[] v, int C) {
   
        int size = w.length;
        return solveKS(w, v, size - 1, C);
    }

    public static void main(String[] args){
   
        int[] w = {
   2,1,3,2};
        int[] v = {
   12,10,20,15};
        System.out.println(knapSack(w,v,5));
    }
}

记忆化搜索

我们用递归方法可以很简单的实现以上代码，但是有个严重的问题就是，直接采用自顶向下的递归算法会导致要不止一次的解决公共子问题，因此效率是相当低下的。
我们可以将已经求得的子问题的结果保存下来，这样对子问题只会求解一次，这便是记忆化搜索。
下面在上述代码的基础上加上记忆化搜索

public class KnapSack01 {
   
    private static int[][] memo;

    /**
     * 解决背包问题的递归函数
     *
     * @param w        物品的重量数组
     * @param v        物品的价值数组
     * @param index    当前待选择的物品索引
     * @param capacity 当前背包有效容量
     * @return 最大价值
     */
    private static int solveKS(int[] w, int[] v, int index, int capacity) {
   
        //基准条件：如果索引无效或者容量不足，直接返回当前价值0
        if (index < 0 || capacity <= 0)
            return 0;

        //如果此子问题已经求解过，则直接返回上次求解的结果
        if (memo[index][capacity] != 0) {
   
            return memo[index][capacity];
        }

        //不放第index个物品所得价值
        int res = solveKS(w, v, index - 1, capacity);
        //放第index个物品所得价值（前提是：第index个物品可以放得下）
        if (w[index] <= capacity) {
   
            res = Math.max(res, v[index] + solveKS(w, v, index - 1, capacity - w[index]));
        }
        //添加子问题的解，便于下次直接使用
        memo[index][capacity] = res;
        return res;
    }

    public static int knapSack(int[] w, int[] v, int C) {
   
        int size = w.length;
        memo = new int[size][C + 1];
        return solveKS(w, v, size - 1, C);
    }

    public static void main(String[] args) {
   
        int[] w = {
   2, 1, 3, 2};
        int[] v = {
   12, 10, 20, 15};
        System.out.println(knapSack(w, v, 5));
    }
}

动态规划算法

public class KnapSack01 {
   
    public static int knapSack(int[] w, int[] v, int C) {
   
        int size = w.length;
        if (size == 0) {
   
            return 0;
        }

        int[][] dp = new int[size][C + 1];
        //初始化第一行
        //仅考虑容量为C的背包放第0个物品的情况
        for (int i = 0; i <= C; i++) {
   
            dp[0][i] = w[0] <= i ? v[0] : 0;
        }
		//填充其他行和列
        for (int i = 1; i < size; i++) {
   
            for (int j = 0; j <= C; j++) {
   
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (w[i] <= j) {
   
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], v[i] + dp[i - 1][j - w[i]]);
                }
            }
        }
        return dp[size - 1][C];
    }

    public static void main(String[] args) {
   
        int[] w = {
   2, 1, 3, 2};
        int[] v = {
   12, 10, 20, 15};
        System.out.println(knapSack(w, v, 5));
    }
}

空间复杂度的极致优化

上面的动态规划算法使用了O(n*C)的空间复杂度（因为我们使用了二维数组来记录子问题的解），其实我们完全可以只使用一维数组来存放结果，但同时我们需要注意的是，为了防止计算结果被覆盖，我们必须从后向前分别进行计算

我们仍然假设背包空间为5，根据$$F(i,C)=max(F(i-1,C),v(i)+F(i-1,C-w(i)))$$我们可以知道，当我们利用一维数组进行记忆化的时候，我们只需要使用到当前位置的值和该位置之前的值，举个例子
假设我们要计算$F(i,4)$,我们需要用到的值为$F(i-1,4)$和$F(i-1,4-w(i))$,因此为了防止结果被覆盖，我们需要从后向前依次计算结果
最终的动态规划代码如下

public class KnapSack01 {
   
    public static int knapSack(int[] w, int[] v, int C) {
   
        int size = w.length;
        if (size == 0) {
   
            return 0;
        }

        int[] dp = new int[C + 1];
        //初始化第一行
        //仅考虑容量为C的背包放第0个物品的情况
        for (int i = 0; i <= C; i++) {
   
            dp[i] = w[0] <= i ? v[0] : 0;
        }

        for (int i = 1; i < size; i++) {
   
            for (int j = C; j >= w[i]; j--) {
   
                dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]);
            }
        }
        return dp[C];
    }

    public static void main(String[] args) {
   
        int[] w = {
   2, 1, 3, 2};
        int[] v = {
   12, 10, 20, 15};
        System.out.println(knapSack(w, v, 5));
    }
}

利用背包问题的思想解决问题

leetcode 416 Partition Equal Subset Sum

给定一个仅包含正整数的非空数组，确定该数组是否可以分成两部分，要求两部分的和相等

问题分析

该问题我们可以利用背包问题的思想进行求解。

假设给定元素个数为$n$的数组arr，数组元素的和为sum，对应于背包问题，等价于有$n$个物品，每个物品的重量和价值均为为arr[i]，背包的限重为sum/2，求解背包中的物品最大价值为多少？

class Solution {
   
    private boolean knapSack(int[] nums,int sum){
   
        int size = nums.length;
        
        boolean[] dp = new boolean[sum + 1];
        for (int i = 0;i <= sum;i ++){
   
           dp[i] = i == nums[0];
        }
        
        for (int i = 1;i < size;i++){
   
            for (int j = sum;j >= nums[i];j--){
   
                dp[j] = dp[j] || dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[sum];
    }
    
    public boolean canPartition(int[] nums) {
   
        int sum = 0;
        for (int item : nums){
   
            sum += item;
        }
        
        //如果数组元素和不是2的倍数，直接返回false
        if (sum % 2 != 0)
            return false;
        
        return knapSack(nums,sum/2);
    }
}

转载：https://blog.csdn.net/chanmufeng/article/details/82955730