数据结构：手把手带你了解 ”图“ 所有知识！(含DFS、BFS）

前言

本文主要讲解 数据结构中的图 结构，包括 深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最小生成树算法等，希望你们会喜欢。

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目录

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1. 简介

• 数据结构的中属于 圆形结构 的逻辑结构
• 具体介绍如下

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2. 基础概念

• 在图的数据结构中，有许多基础概念，如 边类型、图顶点 & 边间的关系等等
• 具体请看下图

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3. 类型

图的类型分为很多种，具体如下：

3.1 有向图 & 无向图

3.2 连通图

• 定义
  图中任意顶点都是连通的图

• 具体相关概念
  对于有向图 & 无向图，连通图的的具体概念又不同，具体如下

对于无向图：

对于有向图：

3.3 其余类型图

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4. 存储结构

图的存储结构共有5种，具体请看下图

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5. 图的遍历

数据结构：图文详解二叉树（遍历、类型、操作）

5.1 定义

从图中某1顶点出发，遍历图中其余所有顶点 & 使每1个顶点仅被访问1次

5.2 遍历方式

深度优先遍历（DFS）、广度优先遍历（BFS）

5.3 具体介绍

5.3.1 深度优先遍历（ DFS ）

• 简介

• 算法示意图

• 具体实现：递归 & 非递归

此处图的存储结构 = 邻接矩阵

import java.util.Stack;

public class MyGraph {

    /**
     * 准备工作1：设置变量
     */
    private int vexnum;  // 存放图中顶点数量
    private char[] vertices;  // 存放结点数据
    private int [][] arcs;  // 存放图的所有边
    private boolean[] visited;// 记录节点是否已被遍历

    /**
     * 准备工作2：初始化图的顶点数量、数据 & 边
     */
    public MyGraph(int n){
        vexnum = n;
        vertices = new char[n];
        visited = new boolean[n];
        arcs = new int[n][n];
    }

    /**
     * 图的深度优先遍历算法实现：递归
     * 类似 前序遍历
     */
    public void DFSTraverse(){
        // 1. 初始化所有顶点的访问标记
        // 即，都是未访问状态
        for (int i = 0; i < vexnum; i++) {
            visited[i] = false;
        }

        // 2. 深度优先遍历顶点（从未被访问的顶点开始）
        for(int i=0;i < vexnum;i++){

            if(visited[i]==false){

                // 若是连通图，只会执行一次
                traverse(i); // ->>看关注1
            }
        }
    }

    /**
     * 关注1：邻接矩阵的深度优先搜索递归算法
     * 即，从第i个顶点开始深度优先遍历
     */
    private void traverse(int i){

        // 1. 标记第i个顶点已遍历
        visited[i] = true;

        // 2. （输出）访问当前遍历的顶点
        visit(i);

        // 3. 遍历邻接矩阵中第i个顶点的所有邻接顶点
        for(int j=0;j<vexnum;j++){

            // a. 若当前顶点的邻接顶点存在 & 未被访问，则递归 深度优先搜索 算法

            if(arcs[i][j]==1 && visited[j]==false){
                // b. 将当前顶点的邻接顶点作为当前顶点，递归 深度优先搜索 算法
                traverse(j);
            }
        }
    }
    
    /**
     * 辅助算法1：访问顶点值
     */
    public void visit(int i){
        System.out.print(vertices[i] + " ");
    }

    
    
    /**
     * 图的深度优先遍历算法实现：非递归
     * 原理：采用 栈实现
     */
    public void DFSTraverse2(){
        // 1. 初始化顶点访问标记
        // 全部标记为：未访问
        for (int i = 0; i < vexnum; i++) {
            visited[i] = false;
        }

        // 2. 创建栈
        Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();


        for(int i=0 ; i<vexnum; i++){

            // 3. 若该顶点未被访问
            if(!visited[i]){
                // 4. 入栈该顶点

                s.add(i);

                do{
                    // 出栈
                    int curr = s.pop();

                    // 如果该节点还没有被遍历，则遍历该节点并将子节点入栈
                    if(visited[curr]==false){
                        // 遍历并打印
                        visit(curr);
                        visited[curr] = true;

                        // 没遍历的子节点入栈
                        for(int j=vexnum-1; j>=0 ; j-- ){
                            if(arcs[curr][j]==1 && visited[j]==false){
                                s.add(j);
                            }
                        }
                    }
                }while(!s.isEmpty());
            }
        }
    }

    
    /**
     * 测试（递归 & 非递归）
     */
    public static void main(String[] args) {

        // 1. 初始化图的结构（顶点数量 = 9）
        MyGraph g = new MyGraph(9);

        // 2. 设置顶点数据
        char[] vertices = {'A','B','C','D','E','F','G','H','I'};
        g.setVertices(vertices);

        // 3. 设置边
        g.addEdge(0, 1);
        g.addEdge(0, 5);
        g.addEdge(1, 0);
        g.addEdge(1, 2);
        g.addEdge(1, 6);
        g.addEdge(1, 8);
        g.addEdge(2, 1);
        g.addEdge(2, 3);
        g.addEdge(2, 8);
        g.addEdge(3, 2);
        g.addEdge(3, 4);
        g.addEdge(3, 6);
        g.addEdge(3, 7);
        g.addEdge(3, 8);
        g.addEdge(4, 3);
        g.addEdge(4, 5);
        g.addEdge(4, 7);
        g.addEdge(5, 0);
        g.addEdge(5, 4);
        g.addEdge(5, 6);
        g.addEdge(6, 1);
        g.addEdge(6, 3);
        g.addEdge(6, 5);
        g.addEdge(6, 7);
        g.addEdge(7, 3);
        g.addEdge(7, 4);
        g.addEdge(7, 6);
        g.addEdge(8, 1);
        g.addEdge(8, 2);
        g.addEdge(8, 3);

        // 4. 执行 图的深度优先遍历：（递归 & 非递归）
        System.out.println("深度优先遍历（递归）");
        g.DFSTraverse();
        System.out.println("深度优先遍历（非递归）");
        g.DFSTraverse2();

    }

    /**
     * 辅助算法1：添加边(无向图)
     */
    public void addEdge(int i, int j) {
        // 边的头尾不能为同一节点
        if (i == j) return;

        // 将邻接矩阵的第i行第j列的元素值置为1；
        arcs[i][j] = 1;
        // 将邻接矩阵的第j行第i列的元素值置为1；
        arcs[j][i] = 1;
        // 设置为1代表2顶点之间存在 边 （设置相等原因 = 邻接矩阵 是对称的）
    }

    /**
     * 辅助算法2：设置顶点数据
     */
    public void setVertices(char[] vertices) {
        this.vertices = vertices;
    }
}

• 测试结果

深度优先遍历（递归）
A B C D E F G H I 
深度优先遍历（非递归）
A B C D E F G H I

• 特别注意
  对于图的存储结构 = 邻接表实现，只需要将 存储边 的2维数组 改成链表即可。

• 图的存储结构 = 邻接矩阵 / 邻接表 的性能对比

5.3.2 广度优先遍历（BFS）

• 简介

• 算法示意图

• 具体流程

注：G 比 I 先访问的原因 = 用数组存储顶点时，G的下标 比 I的下标小（按ABCDEFGHI顺序存储）

• 具体实现

非递归：采用队列

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class MyGraph {

    /**
     * 准备工作1：设置变量
     */
    private int vexnum;  // 存放图中顶点数量
    private char[] vertices;  // 存放结点数据
    private int [][] arcs;  // 存放图的所有边
    private boolean[] visited;// 记录节点是否已被遍历

    /**
     * 准备工作2：初始化图的顶点数量、数据 & 边
     */
    public MyGraph(int n){
        vexnum = n;
        vertices = new char[n];
        visited = new boolean[n];
        arcs = new int[n][n];
    }
    
    /**
     * 广度优先搜索 算法实现
     * 原理：非递归（采用队列）
     */
    public void BFS(){

        // 1. 初始化所有顶点的访问标记
        // 即，设置为未访问状态
        for (int i = 0; i < vexnum; i++) {
            visited[i] = false;
        }

        // 2. 创建队列
        Queue<Integer> q=new LinkedList<Integer>();

        // 3. 对所有顶点做遍历循环（从第1个顶点开始）
        // 若遍历完毕，则结束整个层序遍历
        for(int i=0;i < vexnum;i++){

            // 4. 若当前顶点未被访问，就进行处理
            // 若当前顶点已被访问，则回到3进行判断
            if( visited[i]==false ) {

                // 5. （输出）访问当前顶点
                visit(i);

                // 6. 标记当前顶点已被访问
                visited[i] = true;

                // 7. 入队当前顶点
                q.add(i);

                // 8.判断当前队列是否为空
                // 若为空则跳出循环，回到3进行判断
                while(!q.isEmpty()) {

                    // 9. 出队队首元素 & 将出队的元素 赋值为 当前顶点
                    i =  q.poll();

                    // 10. 遍历当前顶点的所有邻接点
                    // 若遍历完毕，则回到8判断
                    for(int j=0; j< vexnum ; j++){

                        // 11. 若当前顶点的邻接顶点存在 & 未被访问，则执行处理
                        // 否则回到10判断
                        if(arcs[i][j]==1 && visited[j]==false){

                            // 12. （输出）访问当前顶点的邻接顶点
                            visit(j);

                            // 13. 标记当前顶点的邻接顶点已被访问
                            visited[j] = true;

                            // 14. 入队当前顶点的邻接顶点
                            q.add(j);

                        }
                    }

                }

            }
        }
    }

  /**
    * 辅助算法1：访问该顶点
    */
    public void visit(int i){
        System.out.print(vertices[i] + " ");
    }

  /** 
    * 测试算法
    */
    public static void main(String[] args) {
        // 1. 初始化图的结构（顶点数量 = 9
        MyGraph g = new MyGraph(9);

        // 2. 设置顶点数据
        char[] vertices = {'A','B','C','D','E','F','G','H','I'};
        g.setVertices(vertices);

        // 3. 设置边
        g.addEdge(0, 1);
        g.addEdge(0, 5);
        g.addEdge(1, 0);
        g.addEdge(1, 2);
        g.addEdge(1, 6);
        g.addEdge(1, 8);
        g.addEdge(2, 1);
        g.addEdge(2, 3);
        g.addEdge(2, 8);
        g.addEdge(3, 2);
        g.addEdge(3, 4);
        g.addEdge(3, 6);
        g.addEdge(3, 7);
        g.addEdge(3, 8);
        g.addEdge(4, 3);
        g.addEdge(4, 5);
        g.addEdge(4, 7);
        g.addEdge(5, 0);
        g.addEdge(5, 4);
        g.addEdge(5, 6);
        g.addEdge(6, 1);
        g.addEdge(6, 3);
        g.addEdge(6, 5);
        g.addEdge(6, 7);
        g.addEdge(7, 3);
        g.addEdge(7, 4);
        g.addEdge(7, 6);
        g.addEdge(8, 1);
        g.addEdge(8, 2);
        g.addEdge(8, 3);

        // 4. 执行 图的广度优先遍历（非递归）
        System.out.print("广度优先遍历（非递归）：");
        g.BFS();
        }

  /**
    * 辅助算法1：添加边(无向图)
    */

    public void addEdge(int i, int j) {
        // 边的头尾不能为同一节点
        if (i == j) return;

        // 将邻接矩阵的第i行第j列的元素值置为1；
        arcs[i][j] = 1;
        // 将邻接矩阵的第j行第i列的元素值置为1；
        arcs[j][i] = 1;
        // 设置为1代表2顶点之间存在 边 （设置相等原因 = 邻接矩阵 是对称的）
    }

    /**
     * 辅助算法2：设置顶点数据
     */
    public void setVertices(char[] vertices) {
        this.vertices = vertices;
    }
        
}

• 执行结果

广度优先遍历（非递归）：A B F C G I E D H

5.4 遍历方式对比

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6. 最小生成树

本节主要讲解 图中的 最小生成树

6.1 定义

构造 连通网图 的最小成本生成树

1. 网图：带有权值的图
2. 最小成本：用（n-1）条边将 含n个顶点的连通图 连接起来 & 使得权值和最小

6.2 寻找最小生成树的算法

• 主要包括：（Prim）普利姆算法 & （Kruskal）克鲁斯卡尔算法
• 具体介绍如下

6.2.1 （Prim）普利姆算法

• 算法概述

• 算法原理流程示意图

• 举例说明

6.2.2（Kruskal）克鲁斯卡尔算法

• 算法概述

6.3 算法对比

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7. 最短路径

7.1 定义

• 对于非网图（无权值），最短路径 = 两顶点间经过的边数最少的路径
• 对于网图（有权值）：最短路径 = 两顶点间经过的边上权值和最少的路径

第1个顶点 = 源点、第2个顶点 = 终点

7.2 需解决的问题

从源点 -> 其余各顶点的最短路径

7.3 寻找最短路径 算法

• 主要包括：迪杰斯特拉算法（Dijkstra）、弗洛伊德算法（Floyd）

• 具体介绍如下

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8. 总结

• 本文主要讲解了数据结构中的图
• 下面我将继续对 数据结构，有兴趣可以继续关注Carson_Ho的安卓开发笔记

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转载：https://blog.csdn.net/carson_ho/article/details/108571561