数据库系统之关系数据库（超详细的关系操作，集合运算等[笛卡尔积、除运算重点]）

关系数据库

一、关系数据结构及形式化定义

1.关系

单一的数据结构----关系
现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示

逻辑结构----二维表
从用户角度，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表

建立在集合代数的基础上

1. 1域（Domain）

域是一组具有相同数据类型的值的集合。例:
整数、实数、介于某个取值范围的整数、指定长度的字符串集合、{‘男’，‘女’}

1.2 笛卡尔积（Cartesian Product）

笛卡尔积：
给定一组域D1，D2，…，Dn，允许其中某些域是相同的。

D1，D2，…，Dn的笛卡尔积为：
D1×D2×…×Dn ＝ （d1，d2，…，dn）｜diDi，i＝1，2，…，n｝

所有域的所有取值的一个组合，不能重复。

元组（Tuple）
笛卡尔积中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简元组
(张清玫，计算机专业，李勇)、(张清玫，计算机专业，刘晨) 等 都是元组

分量（Component）
笛卡尔积元素（d1，d2，…，dn）中的每一个值di 叫作一个分量
张清玫、计算机专业、李勇、刘晨等都是分量

基数（Cardinal number）
若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为mi（i＝1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数M为：

笛卡尔积的表示方法
笛卡尔积可表示为一张二维表
表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域

例如，给出3个域：
D1=导师集合SUPERVISOR=｛张清玫，刘逸｝
D2=专业集合SPECIALITY=｛计算机专业，信息专业｝
D3=研究生集合POSTGRADUATE=｛李勇，刘晨，王敏｝
D1，D2，D3的笛卡尔积为
D1×D2×D3＝｛
(张清玫，计算机专业，李勇)，(张清玫，计算机专业，刘晨)，
(张清玫，计算机专业，王敏)，(张清玫，信息专业，李勇)，
(张清玫，信息专业，刘晨)，(张清玫，信息专业，王敏)，
(刘逸，计算机专业，李勇)，(刘逸，计算机专业，刘晨)，
(刘逸，计算机专业，王敏)，(刘逸，信息专业，李勇)，
(刘逸，信息专业，刘晨)，(刘逸，信息专业，王敏) ｝
基数为2×2×3＝12

1.3.关系（Relation）

（1） 关系

D1×D2×…×Dn的子集叫作在域D1，D2，…，Dn上的关系，表示为

     R（D1，D2，…，Dn）

R：关系名
n：关系的目或度（Degree）

（2）元组

关系中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示。

（3）单元关系与二元关系

当n=1时，称该关系为单元关系（Unary relation）或一元关系
当n=2时，称该关系为二元关系（Binary relation）

（4）关系的表示

关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域

（5）属性

关系中不同列可以对应相同的域,为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）,n目关系必有n个属性.

（6）码

候选码（Candidate key）
若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码,简单的情况：候选码只包含一个属性.
全码（All-key）
最极端的情况：关系模式的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码（All-key）

主码
若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）
主属性
候选码的诸属性称为主属性（Prime attribute),不包含在任何侯选码中的属性称为非主属性（Non-Prime attribute）或非码属性（Non-key attribute）

D1，D2，…，Dn的笛卡尔积的某个子集才有实际含义

（7）三类关系

基本关系（基本表或基表）:实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示
查询表:查询结果对应的表
视图表:由基本表或其他视图表导出的表，是虚表，不对应实际存储的数据

（8）基本关系的性质

① 列是同质的（Homogeneous）
② 不同的列可出自同一个域,其中的每一列称为一个属性,不同的属性要给予不同的属性名.
③ 列的顺序无所谓,，列的次序可以任意交换
④ 任意两个元组的候选码不能相同
⑤ 行的顺序无所谓，行的次序可以任意交换
⑥ 分量必须取原子值

2.关系模式

2.1什么是关系模式

关系模式（Relation Schema）是型
关系是值
关系模式是对关系的描述,元组集合的结构、属性构成、属性来自的域 、属性与域之间的映象关系
完整性约束条件

2.2定义关系模式

关系模式可以形式化地表示为：

R（U，D，DOM，F）
R 关系名
U 组成该关系的属性名集合
D U中属性所来自的域
DOM 属性向域的映象集合
F 属性间数据的依赖关系的集合

关系模式通常可以简记为
R (U) 或 R (A1，A2，…，An)
R: 关系名
A1，A2，…，An : 属性名
注：域名及属性向域的映象常常直接说明为
属性的类型、长度

2.3.关系模式与关系

关系模式：关系的描述、静态的、稳定的
关系：关系模式在某一时刻的状态或内容、动态的、随时间不断变化的
关系模式和关系往往笼统称为关系、通过上下文加以区别

3.关系数据库

关系数据库
在一个给定的应用领域中，所有关系的集合构成一个关系数据库

关系数据库的型与值
关系数据库的型: 关系数据库模式，是对关系数据库的描述。
关系数据库的值: 关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称为关系数据库

4.关系模型的存储结构

关系数据库的物理组织

• 有的关系数据库管理系统中一个表对应一个操作系统文件，将物理数据组织交给操作系统完成。
• 有的关系数据库管理系统从操作系统那里申请若干个大的文件，自己划分文件空间，组织表、索引等存储结构，并进行存储管理

二、关系操作

基本的关系操作

常用的关系操作：

• 查询操作：选择、投影、连接、除、并、差、交、笛卡尔积
  选择、投影、并、差、笛卡尔基是5种基本操作
• 数据更新：插入、删除、修改

关系操作的特点
集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式

关系数据库语言的分类

关系代数语言
用对关系的运算来表达查询要求
代表：ISBL

关系演算语言：用谓词来表达查询要求
元组关系演算语言、谓词变元的基本对象是元组变量
代表：APLHA, QUEL

域关系演算语言、谓词变元的基本对象是域变量
代表：QBE

具有关系代数和关系演算双重特点的语言
代表：SQL（Structured Query Language）

三、关系的完整性

约束
实体完整性和参照完整性、关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持。

用户定义的完整性、应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束 。

1 实体完整性

规则：

• 若属性A是基本关系R的主属性，则属性A不能取空值
• 空值就是“不知道”或“不存在”或“无意义”的值

规则的说明
（1）实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。
（2）现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。
（3）关系模型中以主码作为唯一性标识。
（4）主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性

2 参照完整性

2.1.关系间的引用

在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用。

例[1] 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选修（学号，课程号，成绩）

例[2] 学生实体及其内部的一对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

“学号”是主码，“班长”是外码，它引用了本关系的“学号”
“班长” 必须是确实存在的学生的学号

2.2 外码

• 设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。如果F与基本关系S的主码Ks相对应，则称F是R的外码
• 基本关系R称为参照关系（Referencing Relation）
• 基本关系S称为被参照关系（Referenced Relation）或目标关系（Target Relation）

[例]中学生关系的“专业号”与专业关系的主码“专业号”相对应
“专业号”属性是学生关系的外码
专业关系是被参照关系，学生关系为参照关系

关系R和S不一定是不同的关系.
目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必须定义在同一个（或一组）域上
外码并不一定要与相应的主码同名,当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取相同的名 字，以便于识别.

2.3 参照完整性规则

若属性（或属性组）F是基本关系R的外码它与基本关系S的主码Ks相对应（基本关系R和S不一定是不同的关系），则对于R中每个元组在F上的值必须为：

• 或者取空值（F的每个属性值均为空值）
• 或者等于S中某个元组的主码值

3 用户定义的完整性

• 针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
• 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用程序承担这一功能

例:
课程（课程号，课程名，学分）
“课程号”属性必须取唯一值
非主属性“课程名”也不能取空值
“学分”属性只能取值{1，2，3，4}

四、关系代数

• 关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询
• 关系代数:运算对象是关系、运算结果亦为关系、关系代数的运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符
• 传统的集合运算是从关系的“水平”方向即行的角度进行
• 专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列

关系代数运算符：

1.传统的集合运算

R:

S:

1.1并

R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域

R∪S
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
R∪S = { t|t  R∨t S }

RUS:

1.2差

R - S
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
R -S = { t|tR∧tS }

1.3交

R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
R∩S = { t|t  R∧t S }
R∩S = R –(R-S）

1.4笛卡尔积

R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S

列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组

行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }

2.专门的关系运算

几个概念：

几个表格数据：

Student

Course：

SC ：

2.1.选择

选择又称为限制（Restriction）
选择运算符的含义
在关系R中选择满足给定条件的诸元组
σF® = {t|tR∧F(t)= ‘真’}
F：选择条件，是一个逻辑表达式，取值为“真”或“假”
基本形式为：X1θY1
θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或<>

选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算

例： 查询信息系（IS系）全体学生。
σSdept = ‘IS’ (Student)
结果：

2.2 投影

从R中选择出若干属性列组成新的关系
πA® = { t[A] | t R }
A：R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算

投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

例：查询学生的姓名和所在系。
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
πSname,Sdept(Student)
结果：

2.3.连接

连接也称为θ连接

两类常用连接运算

外连接（Outer Join）

• 如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，就叫做外连接
• 左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)，只保留左边关系R中的悬浮元
• 右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)，只保留右边关系S中的悬浮元组

2.4 除运算

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：

除操作是同时从行和列角度进行运算

设关系R、S分别为下图的(a)和(b)，RS的结果为图©
R：
S：

R÷S：

在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
a3的象集为 {(b4，c6)}
a4的象集为 {(b6，c6)}

S在(B，C)上的投影为
{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }

只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
所以 R÷S ={a1}

关系代数运算小结

关系代数运算
并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除
基本运算
并、差、笛卡尔积、投影、选择
交、连接、除
可以用5种基本运算来表达
引进它们并不增加语言的能力，但可以简化表达

关系代数表达式
关系代数运算经有限次复合后形成的式子

小结

关系数据库系统是目前使用最广泛的数据库系统

关系数据库系统与非关系数据库系统的区别：

• 关系系统只有“表”这一种数据结构
• 非关系数据库系统还有其他数据结构，以及对这些数据结构的操作

关系数据结构

• 关系
  • 域
  • 笛卡尔积
  • 关系
    - 关系，属性，元组
    - 候选码，主码，主属性
    - 基本关系的性质
• 关系模式
• 关系数据库
• 关系模型的存储结构

关系操作

• 查询
  - 选择、投影、连接、除、并、交、差
• 数据更新
  - 插入、删除、修改

关系的完整性约束

• 实体完整性
• 参照完整性
  - 外码
• 用户定义的完整性

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