前面做的题是线性动态规划，用dp[]存储结果，某些题经过优化可以用prev1和prev2存放结果，不必创建一位数组；今天的题用到的是二维动态规划,本题每次只会用到上一行的结果，故可以优化到只创建一位数组，优化会放到文章末尾。
题目链接：
题目描述：
三角形最小路径和
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如，给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
题目理解：
给定一个三角形，每次只能向下移动或者向右下移动，要求得走完三角形的最小路径和，即返回的结果为dp数组最后一行dp[length-1]的最小值。
动态规划问题还是一样的先设状态dp，再推导出状态转移方程式。设 dp[i][j] 为走到 (i, j) 的最小路径和（包含第 i 行第 j 列元素），状态转移方程式如下：
对于中间元素，可能从左上或者上方而来：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
对于每行的第一个元素（即 j=0），只能从上方来：
当 j=0 时, dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]
对于每行的最后一个元素（即 j=i），只能从左上方来：
当 j=i 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
最后，返回的结果应为dp数组最后一行的最小值。
第一次提交：
时间复杂度为O(n^2)，
空间复杂度为O(n^2)。
代码：
/*
*二维动态规划：设 dp[i][j] 为走到 (i, j) 的最小路径和（包含第 i 行第 j 列元素）
*中间元素可能从左上或者上方而来：
*dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
*对于每行的第一个元素（即 j=0），只能从上方来：
*当 j=0 时, dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]
*对于每行的最后一个元素（即 j=i），只能从左上方来
*当 j=i 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
*/
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int[][] dp = new int[triangle.size()][triangle.size()];
int result = Integer.MAX_VALUE;
/*第一行和第二行的元素都是特殊元素，直接进行初始化
*dp[0][0] = triangle[0][0],
*dp[1][0] = dp[0][0] + triangle[1][0],
*dp[1][1] = dp[0][0] + triangle[1][1]*/
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
if(triangle.size() == 1) return dp[0][0];
dp[1][0] = dp[0][0] + triangle.get(1).get(0);
dp[1][1] = dp[0][0] + triangle.get(1).get(1);
if(triangle.size() == 2) return Math.min(dp[1][0], dp[1][1]);
for(int i = 2; i < triangle.size(); i++){
for(int j = 0; j <= i; j++){
if(j == 0) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle.get(i).get(j);
}
else if(j == i){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle.get(i).get(j);
}
else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle.get(i).get(j);
}
if(i == triangle.size()-1){//要走完三角形，result应该为dp最后一行的最小值
if(result > dp[i][j]){
result = dp[i][j];
}
}
}
}
return result;
}
}
优化：
时间复杂度不好再优化了，我们可以从空间复杂度下手，把空间复杂度从O(n^2)降到O(n)。
每一次计算dp[i][j]只会用到上一行的数据，不必设置二维数，可以只设置dp[i]。需要注意的是，如果每一行还是正序循环，会用到被覆盖过的数据，比如：
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
初始：
dp[0] = 2
dp[0] = 2 + 3 = 5；dp[1] = 2 + 4 = 6
第一次循环：从第三行第一列开始
dp[0] = dp[0] + 6 = 11；到这里数据是正确的
dp[1] = min(dp[0], dp[1]) + triangle[2][1]；这里就出问题了，我们需要用到第2行的dp[0]和dp[1]，但是dp[0]在上一步已经被覆盖掉了，从5变成了11。
…
解决方案：
把每行的正序循环改为逆序循环，避免需要用到的数据被覆盖掉： for(int j = 0; j <= i; j++) 改为 for(int j = i; j >= 0; j–)。
优化后的代码：
/*
*二维动态规划：设 dp[i][j] 为走到 (i, j) 的最小路径和（包含第 i 行第 j 列元素）
*中间元素可能从左上或者上方而来：
*dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j]
*对于每行的第一个元素（即 j=0），只能从上方来：
*当 j=0 时, dp[i][j] = dp[i-1][j] + triangle[i][j]
*对于每行的最后一个元素（即 j=i），只能从左上方来
*当 j=i 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle[i][j]
*优化：每一次计算dp[i][j]只会用到上一行的数据，不必设置二维数组，需要注意如果正序循环，会用到被覆盖掉的内容，可以用逆序循环来避免数据被覆盖的问题
*/
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int[] dp = new int[triangle.size()];
int result = Integer.MAX_VALUE;
/*第一行和第二行的元素都是特殊元素，直接进行初始化
*dp[0][0] = triangle[0][0],
*dp[1][0] = dp[0][0] + triangle[1][0],
*dp[1][1] = dp[0][0] + triangle[1][1]*/
dp[0] = triangle.get(0).get(0);
if(triangle.size() == 1) return dp[0];
dp[0] = triangle.get(0).get(0)+ triangle.get(1).get(0);
dp[1] = triangle.get(0).get(0)+ triangle.get(1).get(1);
if(triangle.size() == 2) return Math.min(dp[0], dp[1]);
for(int i = 2; i < triangle.size(); i++){
for(int j = i; j >= 0; j--){//用逆序循环来避免数据被覆盖的问题
if(j == 0) {
dp[j] = dp[j] + triangle.get(i).get(j);
}
else if(j == i){
dp[j] = dp[j-1] + triangle.get(i).get(j);
}
else{
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-1]) + triangle.get(i).get(j);
}
if(i == triangle.size()-1){//要走完三角形，result应该为dp最后一行的最小值
if(result > dp[j]){
result = dp[j];
}
}
}
}
return result;
}
}
第二次提交：
比较奇怪的是…时间复杂度依然是O(n^2)，空间复杂度降到了O(n)，但是提交的数据时间更短了，空间却没什么变化…可能是测试数据不够大，没能体现出来数组降维的优势吧。
转载：https://blog.csdn.net/Code_Yilia/article/details/105921522