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自信息
信息量
如何考察或计算信源输出的消息(或者符号)的信息量?
- 信源的信息实质:不确定性（信源输出的是消息，消息的内涵是信息。信源输出一个符号，我们认为发生一个事件）。
- 数学上我们用概率（或概率密度）来表征事件不确定性的大小。
1.信息量的大小与不确定性的消除多少有关
收到某消息获得的信息量=不确定性的减少量=(收到该消息前关于某事件发生的不确定性)-(收到此消息后关于某事件发生的不确定性)
2.信道无噪声，收到某消息获得的信息量=收到该消息前关于某事件发生的不确定性=信源输出的某消息中所含的信息量。
3.概率小→不确定性大;概率大→不确定性小。
因此，某事件发生所含的信息量应该是该事件发生的先验概率的函数。
自信息定义
事件集合 X \mathbf{X} X 中的事件 x = x i \mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathbf{i}} x=xi 的自信息定义为 I X ( x i ) = − log p X ( x i ) I_{X}\left(x_{i}\right)=-\log p_{X}\left(x_{i}\right) IX(xi)=−logpX(xi) 或记为: I ( x ) = − log p ( x ) I(x)=-\log p(x) I(x)=−logp(x)
注意 1 : 要求 I ( x ) I(x) I(x) 非负. 所以对数的底数必须大于 1 .
- 底数为 2 , 单位为比特 (bit) ;
- 底数为 e \mathrm{e} e , 单位为奈特 (Nat)；
- 底数为 10 , 单位为笛特(Det)。
1 bit =0.693 Nat =0.301 Det
注意2: I(x) 是随机变量.
自信息的含义:
- 在事件发生前, 自信息表示事件发生的不确定性。
- 在事件发生后, 自信息表示事件所包含的信息量, 是提供给信宿的信息量, 也是解除这种不确定性所需要的信息量
假设某个信源以概率p=0.25发出符号A,则A的自信息=2bit;
若某信源以概率p=0.01发出符号B，则B的自信息= 2 l g 2 \frac{2}{lg2} lg22bit;
若某信源以概率p=0.99发出符号C，则C的自信息= l o g 2 0.99 log_20.99 log20.99bit。
联合自信息
联合事件集合 X Y \mathbf{X Y} XY 中的事件 x = x i , y = y j x=x_{i}, y=y_{j} x=xi,y=yj 的自信息定义为
I X Y ( x i y j ) = − log P X ( x i y j ) or I ( x y ) = − log p ( x y ) IXY(xiyj)=−logPX(xiyj) or I(xy)=−logp(xy) IXY(xiyj)=−logPX(xiyj) or I(xy)=−logp(xy)
其中, p ( x y ) p(x y) p(xy) 要满足非负和归一化的条件。
条件自信息
事件 x = x i \mathbf{x}=\mathbf{x}_{\mathbf{i}} x=xi 在事件 y = y j \mathbf{y}=\mathbf{y}_{\mathbf{j}} y=yj 给定条件下的自信息定义为
I X ∣ Y ( x i ∣ y j ) = − log P X ∣ Y ( x i ∣ y j ) or I ( x ∣ y ) = − log p ( x ∣ y ) I_{X \mid Y}\left(x_{i} \mid y_{j}\right)=-\log P_{X \mid Y}\left(x_{i} \mid y_{j}\right)\text { or } I(x \mid y)=-\log p(x \mid y) IX∣Y(xi∣yj)=−logPX∣Y(xi∣yj) or I(x∣y)=−logp(x∣y)
条件自信息的含义
- 在事件 y = y j y=y_{j} y=yj 给定条件下, 在 x = x i x=x_{i} x=xi 发生前的不确定性;
- 在事件 y = y j y=y_{j} y=yj 给定条件下, 在 x = x i x=x_{i} x=xi 发生后所得到的信息量。
Example 有8×8=64个方格，甲将一棋子放入方格中，让乙猜。
1、将方格顺序编号，让乙猜顺序号的难度程度如何?
2、将方格按行和列编号，当甲告诉乙方格的行号后，让乙猜列顺序号的难度如何?
解：两种情况的不确定性:
- I ( x y ) = log 2 64 = 6 b i t I(x y)=\log _{2} 64=6 b i t I(xy)=log264=6bit
- I ( x ∣ y ) = − log 2 p ( x ∣ y ) = log 2 ( 1 / 8 ) = 3 bit I(x \mid y)=-\log _{2} p(x \mid y)=\log _{2}(1 / 8)=3 \text { bit } I(x∣y)=−log2p(x∣y)=log2(1/8)=3 bit
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
转载：https://blog.csdn.net/m0_52316372/article/details/129119180