河北赛区C++ B组省一，省内排名第六
第一次参加蓝桥杯，也做过以前省赛的题目
今年的省赛风格大变，完全不同于往常，搜索、暴力等常考算法没有出现，反而出现了大量的思维题和dp题目。
编程题的最后两个题目完全不符合B组的难度
试题 A: 空间
答案：256 * 1024 * 1024 / 4 = 67108864
试题 B: 卡片
小蓝有很多数字卡片，每张卡片上都是数字 0 到 9。
小蓝准备用这些卡片来拼一些数，他想从 1 开始拼出正整数，每拼一个，
就保存起来，卡片就不能用来拼其它数了。
小蓝想知道自己能从 1 拼到多少。
例如，当小蓝有 30 张卡片，其中 0 到 9 各 3 张，则小蓝可以拼出 1 到 10，
但是拼 11 时卡片 1 已经只有一张了，不够拼出 11。
现在小蓝手里有 0 到 9 的卡片各 2021 张，共 20210 张，请问小蓝可以从 1
拼到多少？
提示：建议使用计算机编程解决问题。
分析：
开一个桶，记录一下每张牌的个数，一旦发现凑某个数时牌不够用了，check函数直接返回false，注意最后答案要减一
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int s[10];
bool check(int x)
{
while (x)
{
int t = x % 10;
x /= 10;
if ( -- s[t] < 0) return false;
}
return true;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < 10; i ++ ) s[i] = 2021;
for (int i = 1; ; i ++ )
if (!check(i))
{
cout << i - 1 << endl;
return 0;
}
return 0;
}
答案：3181
试题 C: 直线
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上 2 × 3 2 × 3 2×3 个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 3 , x ∈ Z , y ∈ Z } \left \{ (x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z\right \} { (x,y)∣0≤x<2,0≤y<3,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 0 到 1 (包含 0 和 1)
之间的整数、纵坐标是 0 0 0 到 $2 $(包含 0 0 0和 2 2 2) 之间的整数的点。这些点一共确定了 11 11 11 条不同的直线。
给定平面上 20 × 21 20 × 21 20×21个整点 { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x < 20 , 0 ≤ y < 21 , x ∈ Z , y ∈ Z } \left \{(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z\right \} { (x,y)∣0≤x<20,0≤y<21,x∈Z,y∈Z}，即横坐标是 0 到 19 (包含 0
和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直
线。
分析：
两点确定一条直线，四重for循环枚举两个点的坐标，求出斜率和纵截距，注意特判斜率不存在的情况x1==x2
但是set存浮点数有误差，不妨将所有直线放到vector中，然后以斜率为第一关键字，纵截距为第二关键字排序，相邻元素的差值>1e-8就可以判为不相等
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
struct Line{
double k,b;
bool operator<(const Line &t) const{
if(k!=t.k) return k<t.k;
else return b<t.b;
}
};
vector<Line> v;
int main(){
for(int x1=0;x1<20;x1++){
for(int y1=0;y1<21;y1++){
for(int x2=0;x2<20;x2++){
for(int y2=0;y2<21;y2++){
if(x1!=x2){
double k=(double)(y1-y2)/(x1-x2);
double b=y1-k*x1;
v.push_back({
k,b});
}
}
}
}
}
sort(v.begin(),v.end());
int res=1;
for(int i=0;i<v.size()-1;i++){
if(fabs(v[i].k-v[i+1].k)>1e-8 || fabs(v[i].b-v[i+1].b)>1e-8){
res++;
}
}
cout<<res+20;
}
试题 D: 货物摆放
小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。
现在，小蓝有 n n n 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 L 、 W 、 H L、W、H L、W、H 的货物，满足 n = L × W × H n = L × W × H n=L×W×H。
给定 n n n，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。
例如，当 n = 4 n = 4 n=4 时，有以下 6 6 6种方案： 1 × 1 × 4 、 1 × 2 × 2 、 1 × 4 × 1 、 2 × 1 × 2 、 2 × 2 × 1 、 4 × 1 × 1 1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、 2 × 2 × 1、4 × 1 × 1 1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、2×2×1、4×1×1。
请问，当 n = 2021041820210418 n = 2021041820210418 n=2021041820210418 （注意有 16 位数字）时，总共有多少种方案？
提示：建议使用计算机编程解决问题。
分析：
预处理出n的所有约数，大约有100多个，然后三重for循环判断三个数乘积是否等于n即可
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<ll> v;
int main(){
ll n=2021041820210418;
for(ll i=1;i*i<=n;i++){
if(n%i==0){
v.push_back(i);
if(n/i!=i){
v.push_back(n/i);
}
}
}
int res=0;
for(auto a:v){
for(auto b:v){
for(auto c:v){
if(a*b*c==n){
res++;
}
}
}
}
cout<<res;
return 0;
}
试题 E: 路径
小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。
小蓝的图由 2021 2021 2021 个结点组成，依次编号 1 1 1至 2021 2021 2021。
对于两个不同的结点 a , b a, b a,b，如果 a a a 和 b b b 的差的绝对值大于 21 21 21，则两个结点之间没有边相连；如果 a a a 和 b b b 的差的绝对值小于等于 21 21 21，则两个点之间有一条长度为 a a a和 b b b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 1 1 和结点 23 23 23 之间没有边相连；结点 3 3 3 和结点 24 24 24 之间有一条无向边，长度为 24 24 24；结点 15 15 15 和结点 25 25 25 之间有一条无向边，长度为 75 75 75。
请计算，结点 1 1 1 和结点 2021 2021 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示：建议使用计算机编程解决问题。
分析：
简单的最短路问题，可以用spfa，dijkstra，甚至是floyd算法解决
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2030,M=100005;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void spfa(){
queue<int> q;
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
q.push(1);
st[1]=true;
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j]){
st[j]=true;
q.push(j);
}
}
}
}
}
int main(){
memset(h, -1, sizeof h);
for(int i=1;i<=2021;i++){
for(int j=i+1;j<=2021;j++){
if(abs(i-j)<=21){
add(i,j,i*j/__gcd(i,j));
add(j,i,i*j/__gcd(i,j));
}
}
}
spfa();
cout<<dist[2021];
return 0;
}
试题 F: 时间显示
小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。
在服务器上，朋友已经获取了当前的时间，用一个整数表示，值为从 1970 1970 1970 年 1 1 1 月 1 1 1 日 00 : 00 : 00 00:00:00 00:00:00 到当前时刻经过的毫秒数。
现在，小蓝要在客户端显示出这个时间。
小蓝不用显示出年月日，只需要显示出时分秒即可，毫秒也不用显示，直接舍去即可。
给定一个用整数表示的时间，请将这个时间对应的时分秒输出。
输入格式
输入一行包含一个整数，表示时间。
输出格式
输出时分秒表示的当前时间，格式形如 HH:MM:SS，其中 HH 表示时，值为 0 0 0 到 23 23 23，MM 表示分，值为 0 0 0 到 59 59 59，SS 表示秒，值为 0 0 0 到 59 59 59。
时、分、秒不足两位时补前导 0 0 0。
数据范围
对于所有评测用例，给定的时间为不超过 1 0 18 10^{18} 1018 的正整数。
输入样例1：
46800999
输出样例1：
13:00:00
输入样例2：
1618708103123
输出样例2：
01:08:23
分析：
n / = 1000 n/=1000 n/=1000，得到秒数
一天有 24 ∗ 60 ∗ 60 = 86400 24*60*60=86400 24∗60∗60=86400秒， n % = 86400 n\%=86400 n%=86400可以得到最后一天的秒数
最后一天的小时数 h = n / 3600 h=n/3600 h=n/3600，然后 n % = 3600 n\%=3600 n%=3600
分钟数 m = n / 60 m=n/60 m=n/60，最后的秒数 s = n % 60 s=n\%60 s=n%60
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
ll n;
cin>>n;
n/=1000;
n%=86400;
ll h=n/3600;
n%=3600;
ll m=n/60;
ll s=n%60;
printf("%02lld:%02lld:%02lld",h,m,s);
}
考场上的源代码（没有考虑公式，直接枚举做的，能过60%数据）：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
ll n;
cin>>n;
n/=1000;
ll h=0,m=0,s=0;
while(n--){
s++;
if(s==60){
m++;
s=0;
if(m==60){
m=0;
h++;
if(h==24){
h=0;
}
}
}
}
printf("%02lld:%02lld:%02lld",h,m,s);
}
试题 G: 砝码称重
你有一架天平和 N N N 个砝码，这 N N N 个砝码重量依次是 W 1 , W 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , W N W_1,W_2,···,W_N W1,W2,⋅⋅⋅,WN。
请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？
注意砝码可以放在天平两边。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 N N N。
第二行包含 N N N 个整数： W 1 , W 2 , W 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , W N W_1,W_2,W_3,···,W_N W1,W2,W3,⋅⋅⋅,WN。
输出格式
输出一个整数代表答案。
数据范围
对于 50 50% 50 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 15 1≤N≤15 1≤N≤15。
对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 100 1≤N≤100 1≤N≤100， N N N 个砝码总重不超过 1 0 5 10^5 105。
输入样例：
31 4 6
输出样例：
10
样例解释
能称出的 1010 种重量是： 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 9 、 10 、 11 1、2、3、4、5、6、7、9、10、11 1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1 = 1；2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；3 = 4 − 1；4 = 4；5 = 6 − 1；6 = 6；7 = 1 + 6；9 = 4 + 6 − 1；10 = 4 + 6；11 = 1 + 4 + 6。
分析：
方法1：背包dp（有限制的选择问题）
状态表示 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j]：集合：只从前 i i i个物品中选，且总重量为 j j j的所有方案的集合
属性：是否非空(bool)
状态计算：【1】不选 w i w_i wi： f [ i , j ] = f [ i − 1 , j ] f[i,j]=f[i-1,j] f[i,j]=f[i−1,j]
【2】选 + w i +w_i +wi： f [ i , j ] = f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] ] f[i,j]=f[i-1][j-w[i]] f[i,j]=f[i−1][j−w[i]]
【3】选 − w i -w_i −wi： f [ i , j ] = f [ i − 1 ] [ j + w [ i ] ] f[i,j]=f[i-1][j+w[i]] f[i,j]=f[i−1][j+w[i]]
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110,M=200005,B=M/2;
int w[N],n,m;
bool f[N][M];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]),m+=w[i];
f[0][B]=true;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=-m;j<=m;j++){
f[i][j+B]=f[i-1][j+B];
if(j-w[i]>=-m) f[i][j+B]|=f[i-1][j-w[i]+B];
if(j+w[i]<=m) f[i][j+B]|=f[i-1][j+w[i]+B];
}
}
int res=0;
for(int j=1;j<=m;j++){
if(f[n][j+B]) res++;
}
cout<<res;
return 0;
}
方法2：母函数
这里套用了母函数的模板，没有用dp方法做，因为恰好是不久前学到的一个原题
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1050,M = 1000005;
int c1[M],c2[M],w[N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
int maxl=0;
for(int i=0;i<n;i++) {
scanf("%d",&w[i]);
maxl+=w[i];
}
c1[0]=1;c1[w[0]]=1;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<=maxl;j++){
for(int k=0;k<=w[i];k+=w[i]){
c2[j+k]+=c1[j];
c2[abs(j-k)]+=c1[j];
}
}
for(int j=0;j<=maxl;j++){
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
}
int cnt=0;
for(int i=1;i<=maxl;i++){
if(c1[i]) cnt++;
}
cout<<cnt;
}
试题 H: 杨辉三角形
下面的图形是著名的杨辉三角形：
如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, ...
给定一个正整数 N N N，请你输出数列中第一次出现 N N N 是在第几个数？
输入格式
输入一个整数 N N N。
输出格式
输出一个整数代表答案。
数据范围
对于 20 20% 20 的评测用例， 1 ≤ N ≤ 10 1≤N≤10 1≤N≤10；
对于所有评测用例， 1 ≤ N ≤ 1 0 9 1≤N≤10^9 1≤N≤109。
输入样例：
6
输出样例：
13
如图所示，从最后一个斜条开始枚举到第一个斜条，每一个斜条的第一个数均为 C ( 2 k , k ) C(2k,k) C(2k,k)，在每一个斜条中二分查找，时间复杂度 O ( 16 l o g n ) O(16logn) O(16logn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll C(int a,int b){
ll res=1;
for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++){
res=res*i/j;
if(res>n) return res;//防止爆long long
}
return res;
}
bool check(int k){
ll l=k*2,r=max((ll)n,l);
while(l<r){
ll mid=l+r>>1;
if(C(mid,k)>=n) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(C(r,k)!=n) return false;
cout<<r*(r+1)/2+k+1;//r的前面有r行
return true;
}
int main(){
cin>>n;
for(int k=16;;k--){
if(check(k)) break;
}
return 0;
}
试题 I: 双向排序
给定序列 ( a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ) = ( 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ) (a_1,a_2,···,a_n)=(1,2,···,n) (a1,a2,⋅⋅⋅,an)=(1,2,⋅⋅⋅,n)，即 a i = i a_i=i ai=i。
小蓝将对这个序列进行 m m m 次操作，每次可能是将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_1,a_2,···,a_{q_i} a1,a2,⋅⋅⋅,aqi 降序排列，或者将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_i},a_{q_{i+1}},···,a_n aqi,aqi+1,⋅⋅⋅,an升序排列。
请求出操作完成后的序列。
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n , m n,m n,m，分别表示序列的长度和操作次数。
接下来 m m m 行描述对序列的操作，其中第 i i i 行包含两个整数 p i , q i p_i,q_i pi,qi表示操作类型和参数。当 p i = 0 p_i=0 pi=0 时，表示将 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a q i a_1,a_2,···,a_{q_i} a1,a2,⋅⋅⋅,aqi 降序排列；当 p i = 1 p_i=1 pi=1 时，表示将 a q i , a q i + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n a_{q_i},a_{q_{i+1}},···,a_n aqi,aqi+1,⋅⋅⋅,an升序排列。
输出格式
输出一行，包含 n n n 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示操作完成后的序列。
数据范围
对于 30 % 30\% 30% 的评测用例， n , m ≤ 1000 n,m≤1000 n,m≤1000；
对于 60 % 60\% 60% 的评测用例， n , m ≤ 5000 n,m≤5000 n,m≤5000；
对于所有评测用例， 1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 ， 0 ≤ p i ≤ 1 ， 1 ≤ q i ≤ n 1≤n,m≤10^5，0≤p_i≤1，1≤q_i≤n 1≤n,m≤105，0≤pi≤1，1≤qi≤n。
输入样例：
3 3
0 3
1 2
0 2
输出样例：
3 1 2
样例解释
原数列为 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)。
第 1 1 1 步后为 ( 3 , 2 , 1 ) (3,2,1) (3,2,1)。
第 2 2 2 步后为 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2)。
第 3 3 3 步后为 ( 3 , 1 , 2 ) (3,1,2) (3,1,2)。与第 2 2 2 步操作后相同，因为前两个数已经是降序了。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010;
int n, m;
PII stk[N];
int ans[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
int top = 0;
while (m -- )
{
int p, q;
scanf("%d%d", &p, &q);
if (!p)
{
while (top && stk[top].x == 0) q = max(q, stk[top -- ].y);
while (top >= 2 && stk[top - 1].y <= q) top -= 2;
stk[ ++ top] = {
0, q};
}
else if (top)
{
while (top && stk[top].x == 1) q = min(q, stk[top -- ].y);
while (top >= 2 && stk[top - 1].y >= q) top -= 2;
stk[ ++ top] = {
1, q};
}
}
int k = n, l = 1, r = n;
for (int i = 1; i <= top; i ++ )
{
if (stk[i].x == 0)
while (r > stk[i].y && l <= r) ans[r -- ] = k -- ;
else
while (l < stk[i].y && l <= r) ans[l ++ ] = k -- ;
if (l > r) break;
}
if (top % 2)
while (l <= r) ans[l ++ ] = k -- ;
else
while (l <= r) ans[r -- ] = k -- ;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
printf("%d ", ans[i]);
return 0;
}
试题 J: 括号序列
给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。
两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。
例如，对于括号序列 ((()，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：()()()、()(())、(())()、(()()) 和 ((()))。
输入格式
输入一行包含一个字符串 s s s，表示给定的括号序列，序列中只有左括号和右括号。
输出格式
输出一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 1000000007 1000000007 (即 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7) 的余数。
数据范围
对于 40 40% 40 的评测用例， ∣ s ∣ ≤ 200 |s|≤200 ∣s∣≤200。
对于所有评测用例， 1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 5000 1≤|s|≤5000 1≤∣s∣≤5000。
输入样例：
((()
输出样例：
5
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5010, MOD = 1e9 + 7;
int n;
char str[N];
LL f[N][N];
LL work()
{
memset(f, 0, sizeof f);
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (str[i] == '(')
{
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
}
else
{
f[i][0] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % MOD;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
f[i][j] = (f[i - 1][j + 1] + f[i][j - 1]) % MOD;
}
for (int i = 0; i <= n; i ++ )
if (f[n][i])
return f[n][i];
return -1;
}
int main()
{
scanf("%s", str + 1);
n = strlen(str + 1);
LL l = work();
reverse(str + 1, str + n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (str[i] == '(') str[i] = ')';
else str[i] = '(';
LL r = work();
printf("%lld\n", l * r % MOD);
return 0;
}
最后总结一下本次比赛吧：
填空题对了1 2 5
编程题第一个，直接枚举做的(我太菜了)
第二个应该是天平称重，恰好是前几天hdu培训中关于母函数的一道原题，15分满分
后面杨辉三角那题，写了个滚动数组，勉强能跑50000的数据。。
双向排序直接sort骗分。。
最后一题不会。。
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